尖点表現とは？わかりやすく解説

数論における尖点表現（せんてんひょうげん、英: cuspidal representations; カスプ表現）は L²-空間に離散的に現れる代数群の表現の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的なモジュラー形式論に関する尖点形式に関係することに由来する。保型表現の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、アデール代数群の表現を考えうる。

考えている群が一般線型群 GL₂ のときの尖点表現は、尖点形式とマース形式に直接に関係する。尖点形式の場合については、各ヘッケ固有形式（アトキン＝レーナーの新形式）が尖点表現に対応する。

定式化

G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)^× から C^× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度を固定して、G(A) 上の複素数値可測函数 f で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間を $L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbb {A} ),\omega )$ と書く。

すべての $\gamma ;\in G(K)$ に対して、 $f(\gamma g)=f(g)$ である。
すべての $z\in Z(\mathbb {A} )$ に対して、 $f(gz)=f(g)\omega (z)$ である。
$\int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\backslash G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty$
G(A) の任意の真の抛物型部分群に関する任意の冪単根基 U に対して $\int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0$ を満たす。

この空間を G(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間に属する函数を尖点函数と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A) の尖点函数 f への作用を

(g\cdot f)(x)=f(xg)

で与えることにより、アデール代数群 G(A) のユニタリ表現になる。中心指標 ω を持つ尖点形式の空間はヒルベルト空間の直和

L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }

に分解される。ここで和は L2
0(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現に亘ってとるものとし、m_π は正の整数とする（つまり、各既約表現は有限な重複度で現れる）。G(A) の尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。

上記の分解に現れる重複度 m_π が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。

参考文献

Bernšteĭn, I. N.; Zelevinskiĭ., A. V. (1976), Representations of the group GL(n; F); where F is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk, 31
James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Lectures on Automorphic L-functions (2004), Chapter 5.

外部リンク

高橋哲也 (1998) (pdf), p進体上の簡約代数群の admissible 表現論入門, Rokko Lectures in Mathematics, 神戸大学理学部数学教室, ISBN 4-907719-04-3
今野拓也 (2004) (pdf), 保型形式入門 第三章非アルキメデス局所理論
今野拓也 (2008) (pdf), GL2 上の保型形式とL函数 第16回整数論サマースクール報告原稿

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