バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

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バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/11 05:42 UTC 版)

数学において、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（バーチ・スウィンナートン＝ダイアーよそう、英語: Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）は、数論の分野における未解決問題であり、略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれる。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン＝ダイアーにちなんで名づけられている。2014年現在、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。

予想は代数体 K 上の楕円曲線 E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの L-関数 L(E, s) の s = 1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、E の点のなすアーベル群 E(K) のランクは L(E, s) の s = 1 における零点の位数であり、s = 1 における L(E, s) のテイラー展開における最初の 0 でない係数は K 上の E に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている (Wiles 2006)。

概要

楕円曲線上の有理点（x 座標も y 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 E 上の2点 P = (x₁, y₁), Q = (x₂, y₂) に対し、直線 PQ と E との交点と x 軸に関して対称な位置にある点 (x₃, y₃)を P + Q で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照）

このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、アーベル群をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。

アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / m₁Z, ..., Z / m_tZ の直積

$\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /m_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /m_{t}\mathbb {Z}$

X が最初の 100000 個の素数を変化するときの曲線 y² = x³ − 5x に対する $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ カテゴリ

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バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/02 21:53 UTC 版)

「L-函数」の記事における「バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」の解説

詳細は「バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」を参照 さらに一般的な L-函数の歴史や未解決の問題への影響の大きな例は、ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン＝ダイアーにより1960年代前半に発見された予想である。この予想を楕円曲線 E へ適用すると、解こうとする問題は有理数（もしくは他の大域体）上の楕円曲線のランクについての予想、すなわち、有理点のなす群の生成子のランクを求める問題である。この分野の今までに多くの仕事が L-函数のより良い知見を統一することから始められた。このことは、初期のL-函数理論のパラダイム例にいくらか似ている。