整関数とは？わかりやすく解説

複素解析における整函数（せいかんすう、英: entire function）は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。

二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。

解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素関数論の初歩（しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる）である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, ラゲール（英語版）, ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, モンテル（英語版）, ピカール, ヴァリロン（英語版）, ブルメンタール（英語版）ら（そしてネヴァンリンナを忘れることはできない）によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。

整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするものであり、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。

整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。

解析函数論における整函数

複素解析函数の分類は普通はそれらの複雑さ、つまりそれらの持つ特異点に従ってなされる。多項式函数を除けば、本項の主題である整函数、整函数の商として極のみを特異点に持つ有理型函数、そして真性特異点あるいは分岐点を持つような函数は一変数複素解析函数の中でもっとも複雑である。

整函数は多項式函数の一般化として現れ、ある意味で「無限次数の多項式」のように振る舞う。ゆえに整函数は、多項式函数を除いてもっとも単純な解析函数であり、有限な領域において特異点を持たず、無限遠点においてただ一つの特異点を持つ（後述）。それでも、整函数の研究は難しく、二百年近い研究史にも拘らず未だに多くの未解決問題を抱えている。

基本理論

複素解析函数 $f$ が $z$ に関して正則とすれば、テイラー–マクローリンの公式により点 $z$ の周りで整級数 $f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}(s-z)^{n}}$

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増大度が有限でない整函数は無限増大度であるという。有限増大度 $ρ$ の場合には、エミール・ボレルにより「その上で増大度が $exp(r ρ)$ となる半径 $r$ の円が無限個存在するならば、それら以外の無限個の円上で増大度が著しく低くなることが起こり得る」（そのような整函数は異常増大 (irregular growth) であるという）という言及がかなり早い時期に与えられているが、同じ現象は無限増大度の場合にも存在する。

そのような理論は、整函数の型の存在と公式 ${\textstyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|=e^{r^{\rho (r)}}}$