テイラー級数の最大項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)
f(s) := ∑∞n=0 ansn は整函数とする。数列 |a0|, |a1|r, |a2|r2, … はある番号以降は単調に減少して、r に依らず 0 に収束する。したがって、各 r に対しほかの全ての項以上の値を持つ項が存在するから、その値を B(r), その値をとる（複数あるならば最大の）項番号を μ(r) と書けば、B(r) は r に関して単調増大で無限大に発散し、コーシーの不等式により B(r) < M(r) が成り立つから 命題 番号 μ(r) は r の単調非減少函数で、r とともに無限大に発散する。 三つの函数 B(r), M(r), μ(r) の間には、二つの不等式 B ( r ) < M ( r ) < B ( r ) [ 2 μ ( r + r μ ( r ) ) + 1 ] {\displaystyle B(r)<M(r)<B(r)[2\mu (r+{\tfrac {r}{\mu (r)}})+1]} が成立する。さらにこの不等式から、 命題 有限増大度の整函数に対して、二つの函数 ln B(r), ln M(r) は漸近的に等しい。 が言える。すると μ(r) に関して 命題 有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) を持つ完全正則整函数に対し、μ(r) ≈ ρ⋅rρ(r) となる ことを得る。一般に公式 ln B ( r ) = ln B ( r 0 ) + ∫ r 0 r μ ( u ) u d u {\displaystyle \ln B(r)=\ln B(r_{0})+\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mu (u)}{u}}du} が成り立つ。
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