テイラー形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/11 10:24 UTC 版)
考えている節点が集積しているならば、ほとんどゼロに近い値での割り算が生じ、桁落ちによって相対誤差が大きくなるから、数値計算はおぼつかない。しかしその場合も、差分商を微分商で（あるいはその逆に）近似することはできる: f ( y ) − f ( x ) y − x ≈ f ′ ( x ) ( x ≈ y ) . {\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\approx f'(x)\quad (x\approx y).} この近似はテイラーの定理 f ( y ) = f ( x ) + f ′ ( x ) ⋅ ( y − x ) + f ″ ( x ) ⋅ ( y − x ) 2 2 ! + f ‴ ( x ) ⋅ ( y − x ) 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle f(y)=f(x)+f'(x)\cdot (y-x)+f''(x)\cdot {\frac {(y-x)^{2}}{2!}}+f'''(x)\cdot {\frac {(y-x)^{3}}{3!}}+\dotsb } が適用できる函数に関しては等式 f ( y ) − f ( x ) y − x = f ′ ( x ) + f ″ ( x ) ⋅ y − x 2 ! + f ‴ ( x ) ⋅ ( y − x ) 2 3 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}=f'(x)+f''(x)\cdot {\frac {y-x}{2!}}+f'''(x)\cdot {\frac {(y-x)^{2}}{3!}}+\dotsb } に変えることができる。また、中央差分を利用すれば y − x の奇数冪の項を消すことができる: f ( y ) − f ( x ) y − x = f ( m + h ) − f ( m − h ) 2 ⋅ h = f ′ ( m ) + f ‴ ( m ) ⋅ h 2 3 ! + ⋯ . {\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}={\frac {f(m+h)-f(m-h)}{2\cdot h}}=f'(m)+f'''(m)\cdot {\frac {h^{2}}{3!}}+\dotsb .} 原理的には、テイラー級数および任意の函数項級数（英語版）に差商近似が適用できる。テイラー級数は冪函数に関する無限和で、函数にその差商を対応させる写像 f ↦ f[x0, …, xn] は線型汎函数であるから、基底函数にこの汎函数を適用すればよい。 通常の冪函数 pn(x) := xn によって、通常のテイラー級数を f = f ( 0 ) ⋅ p 0 + f ′ ( 0 ) ⋅ p 1 + f ″ ( 0 ) 2 ! ⋅ p 2 + f ‴ ( 0 ) 3 ! ⋅ p 3 + … {\displaystyle f=f(0)\cdot p_{0}+f'(0)\cdot p_{1}+{\frac {f''(0)}{2!}}\cdot p_{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}\cdot p_{3}+\dotsc } と書けば、差商のテイラー級数は f [ x 0 , … , x n ] = f ( 0 ) ⋅ p 0 [ x 0 , … , x n ] + f ′ ( 0 ) ⋅ p 1 [ x 0 , … , x n ] + f ″ ( 0 ) 2 ! ⋅ p 2 [ x 0 , … , x n ] + f ‴ ( 0 ) 3 ! ⋅ p 3 [ x 0 , … , x n ] + ⋯ {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f(0)\cdot p_{0}[x_{0},\dots ,x_{n}]+f'(0)\cdot p_{1}[x_{0},\dots ,x_{n}]+{\frac {f''(0)}{2!}}\cdot p_{2}[x_{0},\dots ,x_{n}]+{\frac {f'''(0)}{3!}}\cdot p_{3}[x_{0},\dots ,x_{n}]+\dotsb } と書けることになる。この最初の n 項は多項式の次数よりも高階の差分だから消えており、それ以降の項も以下のように知ることができる: { p j [ x 0 , … , x n ] = 0 ( j < n ) p n [ x 0 , … , x n ] = 1 p n + 1 [ x 0 , … , x n ] = x 0 + ⋯ + x n p n + m [ x 0 , … , x n ] = ∑ 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ ≤ a m ≤ n ∏ j ∈ { a 1 , a 2 , … , a m } x j . {\displaystyle {\begin{cases}p_{j}[x_{0},\dots ,x_{n}]=0&(j<n)\\[3pt]p_{n}[x_{0},\dots ,x_{n}]=1&\\[3pt]p_{n+1}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=x_{0}+\dots +x_{n}\\[8pt]p_{n+m}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\displaystyle \sum _{0\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{m}\leq n}\prod _{j\in \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\}}x_{j}.\\\end{cases}}}
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