ラマヌジャンの等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 00:40 UTC 版)
シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、多重根号を外す操作を含む特徴的な等式をいくつも示して見せた。以下にそれらを列挙する。 3 + 2 5 4 3 − 2 5 4 4 = 5 4 + 1 5 4 − 1 = 1 2 ( 3 + 5 4 + 5 + 125 4 ) {\displaystyle {\sqrt[{{}^{\scriptstyle 4}}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\frac {1}{2}}(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\,)} 28 3 − 27 3 = 1 3 ( 98 3 − 28 3 − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1)} 32 5 5 − 27 5 5 3 = 1 25 5 + 3 25 5 − 9 25 5 {\displaystyle {\sqrt[{{}^{\scriptstyle 3}}]{{\sqrt[{\scriptstyle 5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{\scriptstyle 5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{\scriptstyle 5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{\scriptstyle 5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{\scriptstyle 5}]{\frac {9}{25}}}} 2 3 − 1 3 = 1 9 3 − 2 9 3 + 4 9 3 {\displaystyle {\sqrt[{\scriptstyle 3}]{{\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {4}{9}}}} 他にも、以下に挙げるような一風変わった等式が、ラマヌジャンによって発見された。 49 + 20 6 4 + 49 − 20 6 4 = 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{49+20{\sqrt {6}}}}+{\sqrt[{4}]{49-20{\sqrt {6}}}}=2{\sqrt {3}}} ( 2 + 3 ) ( 5 − 6 ) + 3 ( 2 3 + 3 2 ) 3 = 10 − 13 − 5 6 5 + 6 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(5-{\sqrt {6}})+3(2{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}})}}={\sqrt {10-{\frac {13-5{\sqrt {6}}}{5+{\sqrt {6}}}}}}}
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