ラマヌジャンのL-函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/07 14:01 UTC 版)
「ラマヌジャン・ピーターソン予想」の記事における「ラマヌジャンのL-函数」の解説
リーマンゼータ函数やディリクレのL-函数は、オイラー積 L ( s , a ) = ∏ p ( 1 + a ( p ) p s + a ( p 2 ) p 2 s + ⋯ ) {\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}{\biggl (}1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\cdots {\biggr )}} (1) を満たし、完全乗法性（英語版）のおかげで L ( s , a ) = ∏ p ( 1 − a ( p ) p s ) − 1 {\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1}} (2) となる。リーマンゼータ函数やディリクレのL-函数以外に、上の関係式を満たすL-函数が存在するのであろうか？ 実際は、保型形式のL-函数はオイラー積 (1) を満たすが、完全乗法性を持たないので(2)を満たさない。しかし、1916年にラマヌジャンは、保型形式のL-函数が次の関係式を満たすであろうことを発見した。 L ( s , τ ) = ∏ p ( 1 − τ ( p ) p s + 1 p 2 s − 11 ) − 1 . {\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}{\biggr )}^{-1}.} (3) ここに、τ(p) はラマヌジャンのタウ函数である。(3) の中の項 +1/(p2s − 11) は、完全乗法性からの差異と考えられる。上のL-函数をラマヌジャンのL-函数と言う。
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