ラマヌジャンの問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 00:40 UTC 版)
ラマヌジャンは、雑誌『Journal of Indian Mathematical Society』にこの問題を提示した。 ? = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ . {\displaystyle ?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.\,} これはより一般的な公式を記述することにより、解くことができる。 ? = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) ⋯ {\displaystyle ?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}\ } これをF(x)と設定し、両項を2乗すると以下の式が得られる。 F ( x ) 2 = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) ⋯ {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}\ } これは、以下のように簡略化できる。 F ( x ) 2 = a x + ( n + a ) 2 + x F ( x + n ) {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n)\ } よって、左辺と右辺の x の次数を比べることで F(x) は x についての1次式ということがわかり F(0) の値より以下の式で表せる。 F ( x ) = x + n + a {\displaystyle F(x)=x+n+a\ } よって、a =0, n = 1, そして x = 2を上の式に代入すると、 3 = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ . {\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.\ } ラマヌジャンは彼のノート（現存せず）において 5 + 5 + 5 − 5 + 5 + 5 + 5 − ⋯ = 2 + 5 + 15 − 6 5 2 {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}} という無限多重平方根の根号を外した式を述べている。（上式の符号のパターンは +, +, −, + の繰り返しである）
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