ラマヌジャンの恒等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 07:36 UTC 版)
「アイゼンシュタイン級数」の記事における「ラマヌジャンの恒等式」の解説
ラマヌジャン(Ramanujan)は、最初のいくつかのアイゼンシュタイン級数の微分を含む興味深い関係式を導いた。 L ( q ) = 1 − 24 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 − q n = E 2 ( τ ) {\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )} M ( q ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n = E 4 ( τ ) {\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )} N ( q ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n = E 6 ( τ ) , {\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ),} とすると、 q d L d q = L 2 − M 12 {\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}} q d M d q = L M − N 3 {\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}} q d N d q = L N − M 2 2 {\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}} が成り立つ。 これらの恒等式は、級数の間の恒等式のように、約数函数の畳み込みの等式をもたらす。ラマヌジャンに従い、これらの等式を最も単純な形とするためには、0 を含む σp(n) の領域を拡張する必要がある。そのため、 σ p ( 0 ) = 1 2 ζ ( − p ) . {\displaystyle \sigma _{p}(0)={\frac {1}{2}}\zeta (-p).\;} つまり σ ( 0 ) = − 1 24 σ 3 ( 0 ) = 1 240 σ 5 ( 0 ) = − 1 504 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (0)&=-{\frac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\frac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\frac {1}{504}}.\end{aligned}}} と置く。すると、例えば、 ∑ k = 0 n σ ( k ) σ ( n − k ) = 5 12 σ 3 ( n ) − 1 2 n σ ( n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\frac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\frac {1}{2}}n\sigma (n)} となる。 L, M, N の函数の間の前述の関係式に直接関係しないこのタイプの他の等式は、ラマヌジャンとギウゼッペ・メルフィ（英語版）(Giuseppe Melfi)により証明された。例として、挙げると、 ∑ k = 0 n σ 3 ( k ) σ 3 ( n − k ) = 1 120 σ 7 ( n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{120}}\sigma _{7}(n)} ∑ k = 0 n σ ( 2 k + 1 ) σ 3 ( n − k ) = 1 240 σ 5 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)} ∑ k = 0 n σ ( 3 k + 1 ) σ ( 3 n − 3 k + 1 ) = 1 9 σ 3 ( 3 n + 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)={\frac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).} 約数函数に対する畳み込み等式の包括的なリストと関連するトピックは、以下を参照。 S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, pp 136-162, reprinted in Collected Papers, (1962), Chelsea, New York. Heng Huat Chan and Yau Lin Ong, On Eisenstein Series, (1999) Proceedings of the Amer. Math. Soc. 127(6) pp.1735-1744 G. Melfi, On some modular identities, in Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer and Co. (1998), 371-382.
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