アイゼンシュタイン級数

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アイゼンシュタイン級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/28 18:51 UTC 版)

本記事は正則アイゼンシュタイン級数について記述している。非正則な場合は実解析的アイゼンシュタイン級数を参照。

アイゼンシュタイン級数(Eisenstein series)は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン(Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる無限級数展開を持つ特別なモジュラ形式である。元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシュタイン級数は、保型形式の理論へ一般化することができる。

モジュラ群のアイゼンシュタイン級数

単位円板上の q の函数としての G₆ の実部

単位円板上の q の函数としての G₆ の虚部

τ を虚部が 正となる複素数とする。k ≥ 2 を整数としたとき、ウェイト 2k の正則アイゼンシュタイン級数(holomorphic Eisenstein series) G_2k(τ) を

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}$

G_4

G_6

G_8

G_10

G_12

G_14

$q=e^{2\pi i\tau }$