アイゼンシュタイン級数の積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 07:36 UTC 版)
「アイゼンシュタイン級数」の記事における「アイゼンシュタイン級数の積」の解説
アイゼンシュタイン級数は、全モジュラ群 SL(2, Z) のモジュラ形式の最も明白な例である。ウェイト 2k のモジュラ形式の空間は、2k = 4, 6, 8, 10, 14 に対しては次元１となるため、これらのウェイトを持つようなアイゼンシュタイン級数の積が複数あるとき、それらは互いに定数倍となる。このようにして、等式 E 4 2 = E 8 , E 4 E 6 = E 10 , E 4 E 10 = E 14 , E 6 E 8 = E 14 {\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}} を得る。上で与えられたアイゼンシュタイン級数の q-展開を使い、約数のべき和を意味する等式 ( 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) 2 = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ σ 7 ( n ) q n , {\displaystyle (1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},} に言い換えられる。 よって、 σ 7 ( n ) = σ 3 ( n ) + 120 ∑ m = 1 n − 1 σ 3 ( m ) σ 3 ( n − m ) , {\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),} が成り立ち、他も同様に成り立つ。さらに興味深いことには、8 次元偶数モジュラ格子 Γ のテータ函数は、全モジュラ群に対し、ウェイト 4 のモジュラ形式である。このことは、タイプ E8 のルート格子（英語版）(E8 lattice)の長さ 2 n {\displaystyle {\sqrt {2n}}} のベクトルの数 rΓ(n) ついて、等式 θ Γ ( τ ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ r Γ ( 2 n ) q n = E 4 ( τ ) , r Γ ( n ) = 240 σ 3 ( n ) {\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)} をもたらす。 ディレクレ指標（英語版）(Dirichlet character)でツイストされた正則アイゼンシュタイン級数に対する同様のテクニックは、正の整数nに対しn を2、4、もしくは8個の平方数の和として表す方法の数の、nの因子を用いた公式をもたらす。 上記の漸化式を使い、全ての高次の E2k は E4 と E6 の多項式で表現することができる。例えば、 E 8 = E 4 2 E 10 = E 4 ⋅ E 6 691 ⋅ E 12 = 441 ⋅ E 4 3 + 250 ⋅ E 6 2 E 14 = E 4 2 ⋅ E 6 3617 ⋅ E 16 = 1617 ⋅ E 4 4 + 2000 ⋅ E 4 ⋅ E 6 2 43867 ⋅ E 18 = 38367 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 + 5500 ⋅ E 6 3 174611 ⋅ E 20 = 53361 ⋅ E 4 5 + 121250 ⋅ E 4 2 ⋅ E 6 2 77683 ⋅ E 22 = 57183 ⋅ E 4 4 ⋅ E 6 + 20500 ⋅ E 4 ⋅ E 6 3 236364091 ⋅ E 24 = 49679091 ⋅ E 4 6 + 176400000 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 2 + 10285000 ⋅ E 6 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}.} アイゼンシュタイン級数の積の間の多くの関係は、ハンケルの判別式(Hankel determinants)、つまり、ガーヴァンの等式(Garvan's identity)を使い、エレガントな方法で、 Δ 2 = − 691 1728 2 ⋅ 250 det | E 4 E 6 E 8 E 6 E 8 E 10 E 8 E 10 E 12 | {\displaystyle \Delta ^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}} と表すことができる。ここに Δ = E 4 3 − E 6 2 1728 {\displaystyle \Delta ={\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}} はモジュラ判別式である。
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