テータ函数として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 07:36 UTC 版)
「アイゼンシュタイン級数」の記事における「テータ函数として」の解説
q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} とし、 E 4 ( τ ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n {\displaystyle E_{4}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}} E 6 ( τ ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n {\displaystyle E_{6}(\tau )=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}} E 8 ( τ ) = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n {\displaystyle E_{8}(\tau )=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}} として、 a = θ 2 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) {\displaystyle a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )} b = θ 3 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) {\displaystyle b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )} c = θ 4 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau )} と定義する。ここに θ m {\displaystyle \theta _{m}} and ϑ n {\displaystyle \vartheta _{n}} はヤコビのテータ函数(Jacobi theta functions)の代わる記法である。すると、 E 4 ( τ ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) {\displaystyle E_{4}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{8}+b^{8}+c^{8})} E 6 ( τ ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 {\displaystyle E_{6}(\tau )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}} となる。 E 4 2 = E 8 {\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8}} と a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0} であるので、これは、 E 8 ( τ ) = 1 2 ( a 16 + b 16 + c 16 ) {\displaystyle E_{8}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{16}+b^{16}+c^{16})} を意味する。
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