テータ関数を用いた定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
「ヤコビの楕円関数」の記事における「テータ関数を用いた定義」の解説
ヤコビによるテータ関数を用いて定義することもできる。 ϑ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )} を ϑ {\displaystyle \vartheta } と略記し、 ϑ 01 ( 0 ; τ ) , ϑ 10 ( 0 ; τ ) , ϑ 11 ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )} もそれぞれ、 ϑ 01 , ϑ 10 , ϑ 11 {\displaystyle \vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}} (テータ定数と呼ばれる)と略記する。このとき、母数 k は k = ( ϑ 10 ϑ ) 2 {\displaystyle k=\left({\vartheta _{10} \over \vartheta }\right)^{2}} となる。 u = π ϑ 2 z {\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z} とおくと、 s n ( u ; k ) = − ϑ ϑ 11 ( z ; τ ) ϑ 10 ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {sn} (u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}} c n ( u ; k ) = ϑ 01 ϑ 10 ( z ; τ ) ϑ 10 ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {cn} (u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}} d n ( u ; k ) = ϑ 01 ϑ ( z ; τ ) ϑ ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {dn} (u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}} となる。 これで、ヤコビの関数が母数k(τ)の式で定義されたので、これを反転して τ を k の式で表す必要がある。初めに、余母数 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} を考える。これは τ の関数として、 k ′ ( τ ) = ( ϑ 01 ϑ ) 2 {\displaystyle k'(\tau )=\left({\vartheta _{01} \over \vartheta }\right)^{2}} と書ける。 次に、 ℓ = 1 2 1 − k ′ 1 + k ′ = 1 2 ϑ − ϑ 01 ϑ + ϑ 01 {\displaystyle \ell ={1 \over 2}{1-{\sqrt {k'}} \over 1+{\sqrt {k'}}}={1 \over 2}{\vartheta -\vartheta _{01} \over \vartheta +\vartheta _{01}}} と定める。 そして、ノーム q を q = exp ( π i τ ) {\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )} と定義し、ノーム q に関して、 ℓ {\displaystyle \ell } を冪級数の商に展開すると、 ℓ = q + q 9 + q 25 + ⋯ 1 + 2 q 4 + 2 q 16 + ⋯ {\displaystyle \ell ={q+q^{9}+q^{25}+\cdots \over 1+2q^{4}+2q^{16}+\cdots }} となる。 級数の反転（英語版）を行うと、 q = ℓ + 2 ℓ 5 + 15 ℓ 9 + 150 ℓ 13 + 1707 ℓ 17 + 20910 ℓ 21 + 268616 ℓ 25 + ⋯ {\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\cdots } を得る。 τの虚部が 1/2 sqrt(3) 以上の場合に帰着すればよいので、q の絶対値は exp(-1/2 sqrt(3) π) ~ 0.0658 以下である場合だけを考えればよい。この値は小さいため、上の級数は急速に収束し、簡単にqの値を計算することができる。
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