テータ定数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
v = 0 のときのテータ関数の値をテータ定数（英: theta constant）あるいはテータ零値（独: Thetanullwerte）という。これは定数といいながら実は τ の関数である。 ϑ 2 = ϑ 2 ( 0 ; τ ) = 2 e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}=\vartheta _{2}(0;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}} ϑ 3 = ϑ 3 ( 0 ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}=\vartheta _{3}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}} ϑ 4 = ϑ 4 ( 0 ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}=\vartheta _{4}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}} ϑ 1 = ϑ 1 ( 0 ; τ ) = 0 {\displaystyle \vartheta _{1}=\vartheta _{1}(0;\tau )=0} であるから、代わりに導関数を用いる。 ϑ 1 ′ = [ d d v ϑ 1 ( v ; τ ) ] v = 0 = 2 e π i τ / 4 π cos ( 0 ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) 3 + 2 e π i τ / 4 sin ( 0 ) d d v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v ) = 2 π e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}'&=\left[{\frac {d}{dv}}\vartheta _{1}(v;\tau )\right]_{v=0}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\pi \cos(0)\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}+2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin(0){\frac {d}{dv}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2{\pi }e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}\\\end{aligned}}} c = π ϑ 2 ϑ 3 ϑ 4 / ϑ 1 ′ {\displaystyle c=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}/\vartheta _{1}'} とすると c = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 ( 1 − e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}} でなるが、オイラーの分割恒等式により、 ∏ m − 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) = ∏ m − 1 ∞ ( 1 − e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) − 1 {\displaystyle \prod _{m-1}^{\infty }\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)=\prod _{m-1}^{\infty }\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{-1}} であるから c = 1 であり、故に ϑ 1 ′ = π ϑ 2 ϑ 3 ϑ 4 {\displaystyle \vartheta _{1}'=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}} である。
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