テータ関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 07:47 UTC 版)
「デデキントのイータ関数」の記事における「テータ関数との関係」の解説
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて η 3 ( τ ) = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 ( 1 + e 2 π i τ m ) 2 ( 1 − e 2 π i τ ( 2 m − 1 ) ) 2 = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 ( 1 + e 2 π i τ m ) 2 ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 = 1 2 ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(\tau \right)&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1-e^{2\pi {i}\tau {(2m-1)}}\right)^{2}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\\&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)\\\end{aligned}}} である。また、 η ( τ ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m / 3 ) ( 1 + e 2 π i τ m / 3 + e 4 π i τ m / 3 ) = 2 3 e π i τ / 12 cos π 6 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m / 3 ) ( 1 + 2 cos π 3 e 2 π i τ m / 3 + e 4 π i τ m / 3 ) = 1 3 ϑ 2 ( 1 6 , τ 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau )&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})(1+e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {i}\tau {m}/3})\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}e^{\pi {i\tau }/12}\cos {\frac {\pi }{6}}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})\left(1+2\cos {\frac {\pi }{3}}e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {}i\tau {m}/3}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{6}},{\frac {\tau }{3}}\right)\\\end{aligned}}} である。
※この「テータ関数との関係」の解説は、「デデキントのイータ関数」の解説の一部です。
「テータ関数との関係」を含む「デデキントのイータ関数」の記事については、「デデキントのイータ関数」の概要を参照ください。
- テータ関数との関係のページへのリンク
