テータ函数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:24 UTC 版)
q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} （ノーム）と定義し直すと、ヤコビのテータ函数 ϑ ( 0 ; τ ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( e π i τ ) n 2 = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} から指標付きテータ函数を導くことができる。次のように置くこととする。 a = θ 2 ( 0 ; q ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) {\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )} b = θ 3 ( 0 ; q ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) {\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )} c = θ 4 ( 0 ; q ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )} ここに θ m {\displaystyle \theta _{m}} と ϑ n {\displaystyle \vartheta _{n}} は記法を変えたものとした。すると、ヴァイエルシュトラス定数 g2, g3 とデデキントのエータ函数 η(τ) に対して、 g 2 ( τ ) = 2 3 π 4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) {\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)} g 3 ( τ ) = 4 27 π 6 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 {\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}} Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = ( 2 π ) 12 η ( τ ) 24 = ( 2 π ) 12 ( 1 2 a b c ) 8 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}} となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。 j ( τ ) = 1728 g 2 3 g 2 3 − 27 g 3 2 = 32 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 ( a b c ) 8 . {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}.} ただし、 a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0} であることに注意する。
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