変数 z の函数として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 09:58 UTC 版)
「実解析的アイゼンシュタイン級数」の記事における「変数 z の函数として」の解説
実解析的アイゼンシュタイン級数を変数 z の函数と見なすと、E(z,s) は、固有値 s(s-1) を持つ H 上のラプラス作用素の実解析的固有函数である。言い換えると、E(z,s) は、楕円型偏微分方程式を満たす。 z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} とすると、 y 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) E ( z , s ) = s ( s − 1 ) E ( z , s ) . {\displaystyle y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(s-1)E(z,s).} 函数 E(z, s) は、一次分数変換により、上半平面上の z への SL(2,Z) 作用の下に不変である。前の性質とともに、このことはアイゼンシュタイン級数がマース形式であり、古典的な楕円モジュラ函数の実解析的な類似物であることを意味する。 注意： E(z, s) は H 上の不変リーマン計量に関して、z の 2乗可積分函数ではない。
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