格子上の函数としての扱い
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 10:17 UTC 版)
「モジュラー形式」の記事における「格子上の函数としての扱い」の解説
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で条件 格子 ⟨α, z⟩ が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。 α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = α−kF(Λ) を満たす。 F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。 をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考 えることができる。 このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(⟨1, z⟩) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件 2 はここでは、（モジュラー群の作用として）整数 a, b, c, d で ad − bc = 1 を満たすものに対する函数等式 f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)} となる。たとえば f ( − 1 / z ) = F ( ⟨ 1 , − 1 / z ⟩ ) = z k F ( ⟨ z , − 1 ⟩ ) = z k F ( ⟨ 1 , z ⟩ ) = z k f ( z ) {\displaystyle f(-1/z)=F(\langle 1,-1/z\rangle )=z^{k}F(\langle z,-1\rangle )=z^{k}F(\langle 1,z\rangle )=z^{k}f(z)} などである。
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