格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/21 09:15 UTC 版)
「多重散乱理論」の記事における「格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子」の解説
多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルがランダム（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。 サイトnにあるポテンシャルをVn、自由電子（または無摂動）のハミルトニアンをH0として、系を記述するハミルトニアンHを、 H = H 0 + ∑ n V n {\displaystyle H=\,H_{0}+\sum _{n}V_{n}} とする。次にこれを以下のように変形する。 H = [ H 0 + V ~ ( z ) ] + ∑ n [ V n − V ~ n ( z ) ] = H ~ ( z ) + v ( z ) {\displaystyle H=[H_{0}+{\tilde {V}}(z)]+\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]={\tilde {H}}(z)+v(z)} ここで、 V ~ ( z ) = ∑ n V ~ n ( z ) {\displaystyle {\tilde {V}}(z)=\sum _{n}{\tilde {V}}_{n}(z)} であり、 V ~ n ( z ) {\displaystyle {\tilde {V}}_{n}(z)} は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルVnを周期的部分 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} と非周期的部分 v {\displaystyle \,v} とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようvn(z)の和になっている。 v ( z ) = ∑ n [ V n − V ~ n ( z ) ] = ∑ n v n ( z ) {\displaystyle v(z)=\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]=\sum _{n}v_{n}(z)} 更に、この系におけるグリーン関数をG(z)とすると、G(z)は、 G ( z ) = 1 z − H ~ − v = 1 ( z − H ~ ) ( 1 − v z − H ~ ) {\displaystyle G(z)={\frac {1}{z-{\tilde {H}}-v}}={\frac {1}{(z-{\tilde {H}})\left(1-{\frac {v}{z-{\tilde {H}}}}\right)}}} であり、 G ~ = 1 z − H ~ {\displaystyle {\tilde {G}}={\frac {1}{z-{\tilde {H}}}}} とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、 G ( z ) = G ~ { 1 + v G ~ + v G ~ v G ~ + ⋯ } = G ~ + G ~ T G ~ {\displaystyle G(z)={\tilde {G}}\{1+v{\tilde {G}}+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}+\cdots \}={\tilde {G}}+{\tilde {G}}T{\tilde {G}}} T = v + v G ~ v + v G ~ v G ~ v + ⋯ {\displaystyle T=v+v{\tilde {G}}v+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}v+\cdots } となる。Tを総散乱行列と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、 T = ∑ n v n + ∑ n v n G ~ ∑ m v m + ∑ n G ~ ∑ m v m G ~ ∑ p v p ⋯ {\displaystyle T=\sum _{n}v_{n}+\sum _{n}v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+\sum _{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}\cdots } となる。サイトnのポテンシャルvnのみを考え、散乱理論の場合と同じ要領でt行列が定義できる。 t n = v n { 1 + G ~ v n + G ~ v n G ~ v n ⋯ } = v n 1 1 − v n G ~ = v n [ 1 − v n G ~ ] − 1 {\displaystyle t_{n}=v_{n}\{1+{\tilde {G}}v_{n}+{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}{\frac {1}{1-v_{n}{\tilde {G}}}}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}} 加えて、 t n = v n + v n G ~ { v n + v n G ~ v n + v n G ~ v n G ~ v n ⋯ } = v n + v n G ~ t n {\displaystyle t_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\{v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}t_{n}} である。総散乱行列TはサイトnでのTnの和、 T = ∑ n T n {\displaystyle T=\,\sum _{n}T_{n}} と表現でき、各Tnは、 T n = v n + v n G ~ ∑ m v m + v n G ~ ∑ m v m G ~ ∑ p v p + ⋯ = v n { 1 + G ~ [ ∑ m v m + ∑ m v m G ~ ∑ p v p + ⋯ ] } = v n [ 1 + G ~ ∑ m T m ] {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \\&=v_{n}\left\{1+{\tilde {G}}\left[\sum _{m}v_{m}+\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \right]\right\}\\&=v_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m}T_{m}\right]\end{aligned}}} 更に、 T n = v n + v n G ~ T n + v n G ~ ∑ m ≠ n T m = t n [ 1 + G ~ ∑ m ≠ n T m ] {\displaystyle T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}T_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}=t_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}\right]} である。ここで、 ( 1 − v n G ~ ) T n = v n + v n G ~ ∑ m ≠ n T m , t n = v n [ 1 − v n G ~ ] − 1 {\displaystyle (1-v_{n}{\tilde {G}})T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m},\quad t_{n}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}} よりtnが出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。 T = ∑ n t n + ∑ n t n G ~ ∑ m ≠ n t m + ∑ n t n G ~ ∑ m ≠ n t m G ~ ∑ p ≠ m t p + ⋯ {\displaystyle T=\sum _{n}t_{n}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}+\cdots }
※この「格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子」の解説は、「多重散乱理論」の解説の一部です。
「格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子」を含む「多重散乱理論」の記事については、「多重散乱理論」の概要を参照ください。
- 格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子のページへのリンク
