格子についての補足
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 15:43 UTC 版)
前節の定理1と定理2は、周期が格子状の空間（Z-加群）をなすことを主張している。以下、格子について補足を行う。 d 次元標準正方格子 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} を、以下のように定義する。即ち、d 次元標準正方格子は、成分全てが整数となるような d 次元実数ベクトルを全て集めることによって出来た集合である。 Z d = { ( z 1 ⋮ z d ) | z 1 , … , z d ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{d}\\\end{pmatrix}}\ \left|{\begin{matrix}z_{1},\dots ,z_{d}\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} は、 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} の標準基底 e1 , ... , ed の Z 結合で生成される。即ち、 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} の点 z は、n 個の整数 z1 , ... , zd によって、 z = z 1 e 1 + ⋯ + z d e d {\displaystyle {\boldsymbol {z}}={z}_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\cdots +{z}_{d}{\boldsymbol {e}}_{d}} のように展開することが出来る。この展開は、一意的である。 又、d 次正則行列 A に対し、 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} を、 A Z d = { A ( z 1 ⋮ z d ) | z 1 , … , z d ∈ Z } {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}=\left\{\left.A{\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{d}\\\end{pmatrix}}\ \right|{\begin{matrix}z_{1},\dots ,z_{d}\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}\right\}} と定め、d 次元正則行列 A によって生成された格子空間と呼ぶ。 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} は、A の列ベクトル A1 , ... , Ad のZ結合で生成される。即ち、 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} の点は、n 個の整数 z1 , ... , zd によって、 A ( z ) = A ( z 1 , … , z d ) = z 1 A 1 + ⋯ + z d A d {\displaystyle A(z)=A(z_{1},\dots ,z_{d})=z_{1}{\boldsymbol {A}}_{1}+\cdots +z_{d}{\boldsymbol {A}}_{d}} のように表すことが出来る。即ち、標準格子空間 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} 上の点 z は、行列 A によって、必ず A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} に移すことが出来る。但し、Aj は、A の第 j 列ベクトルである。即ち Aj = Aej である。
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