グリーン関数

透過電子顕微鏡基本用語集

グリーン関数

【英】：Green's function

G(r,r')は、r'にある点散乱体が点rに及ぼす影響（応答）を与える関数。電子線の動力学理論の場合のは(-1/4π)・exp (i k|r-r'|)/|r-r'|。

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グリーン関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/07 17:31 UTC 版)

グリーン関数（グリーンかんすう、英: Green's function）とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。

物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。物理学におけるグリーン関数はプロパゲーター（伝播関数）とも呼ばれる。

J. A. Green により導入された組合せ論的関数のことをグリーン関数と呼ぶこともある。これはグリーン多項式とも呼ばれる。有限シュバレー群（オリジナルは有限体上の一般線型群）の既約表現を記述する数学的対象である。

微分方程式

下の偏微分方程式の（初期値）境界値問題を例に考える。

${\begin{aligned}\mathrm {L} y({\boldsymbol {x}})&=-f({\boldsymbol {x}})&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\y({\boldsymbol {x}})&={\bar {y_{1}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial y({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}&={\bar {y_{2}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}$

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グリーン関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 08:11 UTC 版)

「ダランベール演算子」の記事における「グリーン関数」の解説

ダランベール演算子に関するグリーン関数 G(x − x′) は、次の方程式を満たすものとして定義される。 ◻ G ( x − x ′ ) = δ ( x − x ′ ) δ ( c t − c t ′ ) =: δ ( 4 ) ( x − x ′ ) . ここで δ(4)(x − x′) はミンコフスキー空間でのディラックのデルタ関数であり、x = (ct, x) と x′ = (ct′, x′) はミンコフスキー空間における2つの点である。 上式を満たすグリーン関数として、遅延グリーン関数 D ret ( x − x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | δ ( c t − c t ′ − | x − x | ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ − ∞ ∞ e i k ( x − x ′ ) k 2 − ( k 0 + i ϵ ) 2 d 4 k 並びに、先進グリーン関数 D adv ( x − x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | δ ( c t − c t ′ + | x − x | ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ − ∞ ∞ e i k ( x − x ′ ) k 2 − ( k 0 − i ϵ ) 2 d 4 k をとることができる。但し、 k ( x − x ′ ) := k ⋅ ( x − x ′ ) − k 0 ( x 0 − x 0 ′ ) = k ⋅ ( x − x ′ ) − c k 0 ( t − t ′ ) であるものとする。 遅延グリーン関数 Dret は、 t − t ′ = 1 c | x − x ′ | ≥ 0 以外では 0 の値を、先進グリーン関数 Dadv は、 t − t ′ = − 1 c | x − x ′ | ≤ 0 以外では 0 の値をとる性質を有する。