さまざまな関数に対するオイラー積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/02 08:04 UTC 版)
「オイラー積」の記事における「さまざまな関数に対するオイラー積」の解説
ゼータ関数については上記のように ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 7 s ) ⋯ = ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2^{s}}})}{(1-{\frac {1}{3^{s}}})}{(1-{\frac {1}{5^{s}}})}{(1-{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}=\zeta (s)} である。いっぽうリウヴィル関数 λ(n) については ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s = 1 ( 1 + 1 2 s ) ( 1 + 1 3 s ) ( 1 + 1 5 s ) ( 1 + 1 7 s ) ⋯ = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{{(1+{\frac {1}{2^{s}}})}{(1+{\frac {1}{3^{s}}})}{(1+{\frac {1}{5^{s}}})}{(1+{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}} メビウス関数 μ(n) では ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 7 s ) ⋯ = 1 ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\cdots ={\frac {1}{\zeta (s)}}} や左辺の分子の絶対値をとった ∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n s = ( 1 + 1 2 s ) ( 1 + 1 3 s ) ( 1 + 1 5 s ) ( 1 + 1 7 s ) ⋯ = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1+{\frac {1}{7^{s}}}\right)\cdots ={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}} という無限積が知られている。
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