幾何学的動機付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 00:13 UTC 版)
双線型形式を平方 (z2) とするならば、半双線型形式はユークリッドノルム (|z|2 = z∗z) である。 半双線型形式に付随するノルムは複素単位円（ノルムが 1 の複素数全体）上の複素数を掛ける操作に関して不変であるが、双線型形式に付随するノルムは平方に関して同変（英語版）である。この意味で、双線型写像は「代数的に」より自然だが、半双線型形式は「幾何学的に」より自然である。 複素ベクトル空間上の双線型形式 B と、それに付随するノルム |x|B := B(x, x) に対して | i x | B = B ( i x , i x ) = i 2 B ( x , x ) = − | x | B {\displaystyle |ix|_{B}=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x|_{B}} となるが、これと対照的に、複素ベクトル空間上の半双線型形式 S とそれに付随するノルム |x|S := S(x, x) に関しては | i x | S = S ( i x , i x ) = i ¯ i S ( x , x ) = | x | S {\displaystyle |ix|_{S}=S(ix,ix)={\bar {i}}iS(x,x)=|x|_{S}} が成り立つ。
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