幾何学的位相幾何学とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > ウィキペディア小見出し辞書 > 幾何学的位相幾何学の意味・解説 

幾何学的トポロジー

(幾何学的位相幾何学 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/10 20:10 UTC 版)

ボロミアン環(Borromean rings)に境界とするザイフェルト曲面結び目のザイフェルト曲面は、幾何学的トポロジーの有力なツールである。

数学において、幾何学的トポロジー(きかがくてきトポロジー、geometric topology)は、多様体とそれらの間の写像、特に多様体から多様体への埋め込み(embedding)の研究をする。

歴史

代数的トポロジーとは異なる分野としての幾何学的トポロジーは、1935年のライデマイスタートーション(Reidemeister torsion)によるレンズ空間の分類に原点をもっていると言ってよい。そこでは、ホモトピー同値だが同相ではない空間の識別が要求された。これが単純ホモトピー論英語版(simple homotopy theory)[1] の原点であった。

低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異

多様体は、低次元と高次元の振る舞いは極端に異なっている。

高次元トポロジーは、5 あるいは、それ以上の次元の多様体を指すか、または、相対的な場合には、余次元が 3 あるいは、それ以上の次元の埋め込みを指す。一方、低次元トポロジーは、4 以下の次元の問題に関係しているか、あるいは、余次元 2 以下での埋め込みに関係している。

次元が 4 は特別で、ある見方(トポロジックな)では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方(微分同相として)では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R4 上のエキゾチックな微分構造(exotic differentiable structures on R4)のような、例外的な現象が生み出される。このように、4次元多様体のトポロジー的な分類は原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体は微分可能構造を持つか?と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか?、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想英語版(generalized Poincaré conjecture)が未だ解決されていないことが挙げられる。グルックのツイスト英語版(Gluck twist)を参照。

この差異の理由は、次元 5 とそれ以上の次元では手術理論英語版が働くので(実際、手術理論は次元 4 ではトポロジカルには働くが、その証明は非常に複雑である)、従って、5次元、あるいはそれ以上の次元での多様体の振る舞いは、手術理論により代数的に制御される。4次元とそれ以下の次元(位相的には 3次元とそれ以下の次元)では、手術理論は働かず、別の現象が発生する。実際、低次元多様体を議論するひとつのアプローチは、「手術理論が正しいと予想できるものが、働くであろうか?」と問い、そして、それからの差として低次元の現象を理解することである。

ホイットニーのトリック英語版(Whitney trick)は、2 + 1 次元であることを要求するので、手術理論は 5次元を要求する。

次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理英語版(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。より正確には、はめ込みの自己交叉を削除できる。このことは円板のホモトピーを通して行われる。円板は次元が 2 であり、ホモトピーはもう 1 次元必要で、従って余次元が 2 より大きければ、自己交叉なしで手術を行うことが可能である。従って、余次元が 2 より大きい場合の埋め込みは、手術理論で考えることが可能である。手術理論では、重要な段階が中間次元にあるので、中間次元の余次元が 2 より大きい場合(概略では 2½ で十分で、全体の次元は 5 で十分である)、ホイットニーのトリックが働く。この重要な結果が、スメール(Smale)のh-コボルディズム定理英語版(h-cobordism theorem)であり、次元 5 とそれ以上で働き、手術理論の基礎をなす。

ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル英語版(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。このことから円板の列(「塔」)が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。

幾何学的トポロジーの重要なツール

基本群

すべての次元で、多様体の基本群は、非常に重要な不変量であり、構造の多くを決定する。次元 1, 2, 3 では、可能な基本群は限定され、一方、4 以上の次元では、すべての有限表示群は、多様体の基本群である(4次元と5次元多様体に対し、このことを示し、高次元の場合は球面との積を取ることで十分であることに注意する)。

向き付け可能性

多様体は、向きを選ぶことができるならば、向きつけ可能で、連結な向き付け可能多様体は、2つの異なる向き付けが可能である。この設定では、互いに同値な様々な向きつけ可能性の定式化を与えることができ、要求された応用や一般性のレベルに依存する。一般位相多様体への応用の定式化は、ホモロジー論の方法に頼ることが多く、一方、微分可能多様体(differentiable manifold)への応用の定式化は、さらに構成が存在するため、微分形式のことばでの定式化する。空間の向き付けの考えかたの重要な一般化は、他の空間(ファイバーバンドル)によりパラメーター化された空間のぞくの向き付けへの一般化で、そのためには向き付けは、パラメータの値の変化に関して連続的に変化する空間の中で選択されねばならない。

ハンドル分解

1-バンドルを 3つつけた 3-球

m次元多様体 M のハンドル分解は、合併

主要概念

幾何学的位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/16 00:15 UTC 版)

位相幾何学」の記事における「幾何学的位相幾何学」の解説

詳細は「幾何学的位相幾何学」を参照 幾何学的位相幾何学は主に低次元二、三四次元)の多様体焦点当ててその形状調べ位相幾何学分野であるが、より高次元位相幾何学一部には含む。幾何学的位相幾何学の主題には例え向き付け可能性ハンドル分解英語版)、局所平坦性英語版)および(平面および高次元の)シェーンフリースの定理英語版)などがある。 高次元位相幾何学において特性類基本的な不変量であり、手術理論英語版)は鍵となる理論である。 低次元位相幾何学は、二次元における一意化定理任意の曲面一定曲率計量をもつ、幾何学的に言えば曲率球面的)、曲率平坦)、負曲率(双曲的)の三種類の何れかになる)や三次元における幾何化予想任意の三次元多様体は、各々可能な種類幾何何れかあるよう小片切り分けることができる)に現れているように、極めて幾何学的である。 二次元位相幾何学一変数の複素幾何として調べることができる(リーマン面複素曲線である)。一意化定理により、計量任意の共形類は一意複素計量同値である。また四次元位相幾何学は二変数複素幾何複素曲面)の観点から調べることができるが、任意の次元多様体複素構造を持つわけではない

※この「幾何学的位相幾何学」の解説は、「位相幾何学」の解説の一部です。
「幾何学的位相幾何学」を含む「位相幾何学」の記事については、「位相幾何学」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「幾何学的位相幾何学」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

カテゴリ一覧

すべての辞書の索引



Weblioのサービス

「幾何学的位相幾何学」の関連用語











幾何学的位相幾何学のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



幾何学的位相幾何学のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの幾何学的トポロジー (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの位相幾何学 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS