現代のテーマと発展とは? わかりやすく解説

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現代のテーマと発展

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/25 16:17 UTC 版)

幾何学的群論」の記事における「現代のテーマと発展」の解説

1990年代2000年代幾何学的群論注目すべきテーマ発展には、次のものがある。 群の擬等長性質研究するためのグロモフプログラムこの分野で特に影響力のある広大なテーマは、大尺度(large scale)な幾何学によって有限生成群分類するグロモフプログラム である。正確には、これは語距離(英語版)を入れた有限生成群の擬等長英語版)類を分類することを意味する。このプログラムには以下が含まれる。 擬等長英語版)の下で不変である性質研究有限生成群このような性質の例には、次のものがある。有限生成群増大度英語版)。有限表示群の等周関数英語版)またはデーン関数英語版)。群のエンドの数。 群の双曲性(英語版)。双曲群のグロモフ境界英語版)の同相型; 有限生成群漸近錐(英語版)(asymptotic cone)(たとえば 参照)。有限生成群従順性 ;実質的に(en:virtually)アーベルである(つまり、有限位数アーベル部分群をもつ)こと;実質的にべきであること。実質的に自由であること。有限表示できること。語問題英語版)が解ける有限表示群であること。など 擬等長不変量用いて、群に関する代数的結果証明する定理例えば、グロモフ多項式増大定理英語版); スターリングスのエンド定理; モストウの剛性定理。 擬等長剛性定理。つまり、与えられた群または距離空間に対して、擬等長であるすべての群を代数的に分類するもの。この方向性は、ランク1格子の擬等長剛性に関するシュワルツ(en:Richard Schwartz (mathematician))の研究 と、バウムスラッグ・ソリター群(英語版)の擬等長剛性に関するベンソン・ファーブ(英語版)とリー・モーシャーの研究により始められた。 語双曲群(英語版)と相対双曲群(英語版)の理論。ここで特に重要な発展は、1990年代のジル・セラ(英語版)の研究により、語双曲群の同型問題解かれたことである 相対双曲群の概念は、もともと1987年グロモフによって導入され 1990年代にはファーブ とブライアン・ボウディッチ(英語版) によって洗練された相対双曲群の研究2000年代になって注目を浴びるようになった数理論理学との相互作用自由群一階理論研究。特に、セラ やオルガ・ハランポビッチ(英語版)、アレクセイ・ミアスニコフ の研究により、有名なタルスキ予想(en:free group)に重要な進展があった。極限群(limit group)の研究や、非可換代数幾何学言語道具導入進んだ計算機科学複雑性理論形式言語理論との相互作用。このテーマは、オートマティック群(英語版) の理論の発展によって例証されている。この概念は、有限生成群の積をとる操作特定の幾何学的言語論条件課すのである有限表示群の等周不等式デーン関数とその一般化研究。特にジャン=カミーユ・ビルジェ、アレクサンドル・オリシャンスキー、エリヤフ・リップス(英語版)、マーク・サピル(英語版) の研究は、有限表示群のデーン関数としてありうるものを本質的に特徴づけており、分数次数デーン関数を持つ群の明示的な構成与えている。 有限生成群有限表示群に対すJSJ分解理論の展開幾何解析英語版), 離散群関連する C*-環研究、自由確率論との関係。このテーマは、特にノビコフ予想英語版)とバウム・コンヌ予想英語版に関するかなりの進歩と、それらに関連する群論的な概念位相的従順性、漸近次元ヒルベルト空間への一様な埋め込み可能性急減衰(rapid decay)条件など)の発展研究代表される (例えば を参照). 距離空間上の等角解析理論との相互作用、特に2次元球面同相グロモフ境界英語版)を持つ双曲群の特徴付けに関するキャノン予想との関係。 en:Finite subdivision rules, キャノン予想英語版)にも関係する様々なコンパクト空間上の離散群作用や群のコンパクト化研究する際の位相的力学系英語版)の相互作用、特に収束群(英語版)の方法 R {\displaystyle \mathbb {R} } -(en:real tree)の群作用理論の発展(特にRips machine)とその応用CAT(0) 空間CAT(0)立方複体への群作用研究 。これはアレクサンドロフ幾何学アイデア動機づけられている。 低次元トポロジー双曲幾何学との相互作用、特に3次元多様体群の研究 (例え参照)。曲面写像類群ブレイド群 および クライン群. 「ランダムな群論対象(群、群の要素部分群など)の代数的性質研究するための確率論的手法導入。ここで特に重要な発展は、確率論的手法用いてヒルベルト空間一様埋め込み不可能な有限生成群存在証明したグロモフ研究 である。他の注目すべき発展としては、群論アルゴリズムや他の数学的アルゴリズム対すen:generic-case complexity概念導入研究ジェネリックな群の代数的剛性結果 などがある。 根を無限個もつツリー自己同型群の群としてのオートマタ群や反復モノドロミー群(英語版)の研究。 特に、中間増大度をもつグリゴルチュク群(英語版)とその一般化がこの文脈登場する測度空間上の群作用測度論性質研究、特に測度同値軌道同値概念導入発展、モストウ剛性測度論一般化離散群ユニタリ表現とカジュダンの性質(T)(英語版)の研究 Out(Fn) (自由群階数 n の外部自己同型群) と自由群個々自己同型研究。ここで特に顕著な役割果たしたのは、カラー(Culler)とフォートマン(Vogtmann)のouter space自由群自己同型群のための線路(en:train track)の理論導入研究である。 バス・セール理論の発展英語版)、特に多くaccessibility結果ツリー格子理論。群の複体理論などバス・セール理論一般化。 群上の ランダム・ウォークとそれに関連する境界理論研究、特にポアソン境界概念 (例え参照)。 従順性と、従順性が不明な群の研究有限群論との相互作用、特に subgroup growth研究の進展S L ( n , R ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )} などの線形群や、他のリー群の、部分群格子を、幾何学的方法 (例えビルディング)、代数幾何学ツール (例え代数群表現多様体)、解析的手法 (例えヒルベルト空間上のユニタリ表現) 、数論手法など調べ研究代数的・位相幾何学手法用いた群のコホモロジー。特に 代数的位相幾何学との相互作用組合せ文脈でのモース理論的な考え方利用を含む; 大尺度, あるいは粗ホモロジーあるいはコホモロジー。 (たとえば を参照) Burnside問題, コクセター群アルティン群の研究など、伝統的な組合せ群論トピック進展(これらの問題研究するために現在使用されている方法は、幾何学的・位相幾何学的なものが多い)。

※この「現代のテーマと発展」の解説は、「幾何学的群論」の解説の一部です。
「現代のテーマと発展」を含む「幾何学的群論」の記事については、「幾何学的群論」の概要を参照ください。

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