明示的な構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 16:28 UTC 版)
可換モノイド M のグロタンディーク群を構成するためには、まず、デカルト積 M × M を構成する。2つの座標は、正の値の部分と負の値の部分を表現している、つまり直観的には (m, n) は、m − n と対応することを意味する。 M × M の加法は座標ごとに定義される。 (m1, m2) + (n1, n2) = (m1 + n1, m2 + n2). 次に、M × M 上の同値関係を定義する。ある M の元 k に対して m1 + n2 + k = m2 + n1 + k であるとき、(m1, m2) は (n1, n2) と同値であるという（すべてのモノイドの中で簡約律が成り立つわけではないので、k は必要である）。K を同値類全体の集合と定義する。M × M 上の加法演算は同値関係と整合性を持っているから、K 上の加法が得られ、K はアーベル群になる。K の単位元は (m, m) の形の任意の元の同値類であり、 (m1, m2) の類の逆元は (m2, m1) の類である。準同型 i:M → K は元 m を (m, 0) の類に送る。 グロタンディーク群 K は生成元と関係式を用いて構成することもできる。(Z(M),+') により集合 M により生成される自由アーベル群を書くことにすると、グロタンディーク群 K は { ( x + ′ y ) − ′ ( x + y ) ∣ x , y ∈ M } {\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}} によって生成される部分群による Z(M) の商群である。（ここで +' は自由アーベル群 Z(M) における加法を表し、 + はモノイド M における加法を表す。）この構成には次のような利点がある。任意の半群 M に対して実行することができ、半群に対する対応する普遍性を満たす群、つまり、「M の準同型像を含む最も一般的で最も小さい群」、が生じる。これは「半群の group completion」あるいは「半群の分数群 (group of fractions of a semigroup)」として知られている。
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