常微分方程式の数値解法とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ウィキペディア

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

常微分方程式の数値解法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 01:59 UTC 版)

常微分方程式の数値解法 (じょうびぶんほうていしきのすうちかいほう、英: Numerical methods for ODEs) は、数値解析において常微分方程式を数値的に解く技術の総称である^[1]^[2]。

出典

近似解法に関する論文

^ ^a ^b ^c ^d 山本哲朗『数値解析入門』（増訂版）サイエンス社〈サイエンスライブラリ現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。
^ ^a ^b ^c ^d 森正武. 数値解析第2版. 共立出版.
^ 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
^ 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会.
^ 遠藤理平 (2018) ルンゲ・クッタで行こう!―物理シミュレーションを基礎から学ぶ
^ 岡本和夫. (2009). パンルヴェ方程式. 岩波書店.
^ 野海正俊. (2000). パンルヴェ方程式-対称性からの入門. すうがくの風景 4. 朝倉書店.
^ 岡本和夫. (1985). パンルヴェ方程式序説. 上智大学数学講究録, 19.
^ リッカチのひ・み・つ : 解ける微分方程式の理由を探る. 井ノ口順一著. 日本評論社, 2010.9.
^ Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
^ 吉田春夫. (1995). シンプレクティック数値解法 (古典力学の輝き--未解決問題と新しい発見). 数理科学, 33(6), p37-46.
^ Stoer & Bulirsch, p. 465.
^ Stoer & Bulirsch, p. 467.
^ Iserles, pp. 106-107.
^ ^a ^b 加古富志雄. “数値解析”. 2021年2月2日閲覧。
^ Stoer & Bulirsch, p. 473.
^ 齊藤, pp. 97-98.
^ ^a ^b Press et al., p. 709.
^ Jun Makino. “5.6 刻み幅調節と埋め込み型公式”. 2021年2月2日閲覧。
^ 齊藤, pp. 99, 102.
^ Stoer & Bulirsch, pp. 473-474.
^ Hackbusch, p. 71.
^ ^a ^b Stoer & Bulirsch, p. 474.
^ ^a ^b Hackbusch, p. 72.
^ 齊藤, p. 103.
^ 齊藤, p. 102.
^ Stoer & Bulirsch, p. 477.
^ Stoer & Bulirsch, pp. 477-479.
^ Hackbusch, pp. 73-74.
^ Hackbusch, p. 74.
^ 齊藤, p. 107.
^ 齊藤, p. 97-98, 103.
^ 齊藤, p. 106.
^ Stoer & Bulirsch, pp. 475-476.
^ “Ｃ言語による数値計算プログラミング演習 10. 常微分方程式の初期値問題”. 2021年2月2日閲覧。
^ Press et al., pp. 708-709, 712.
^ ^a ^b Stoer & Bulirsch, p. 492.
^ Press et al., pp. 747-750.
^ Stoer & Bulirsch, p. 508.
^ ^a ^b Iserles, pp. 56-57.
^ Jun Makino (1998年). “2 数値解の安定性”. 2021年2月1日閲覧。
^ Iserles, p. 56.
^ Iserles, p. 59.
^ ^a ^b Jun Makino (1998年). “11.2 A-安定性”. 2021年2月1日閲覧。
^ Iserles, pp. 53-56.
^ Press et al., pp. 735-736.
^ 齊藤, p. 120.
^ ^a ^b 宮武勇登. “保存則に即した数値計算手法”. 2021年2月2日閲覧。
^ 吉田春夫「可変時間ステップによるシンプレクティック数値解法(非線形可積分系による応用解析)」『数理解析研究所講究録』第889巻、京都大学数理解析研究所、1994年11月、70-76頁、CRID 1050001202298760960、hdl:2433/84362、ISSN 1880-2818、2023年12月21日閲覧。
^ Stoer & Bulirsch, pp. 539-540.
^ Stoer & Bulirsch, p. 541.
^ Stoer & Bulirsch, pp. 542-548.
^ Press et al., pp. 753-755, 757-759.
^ Hairer et al. (1993), p. 105.
^ Hairer et al. (1993), p. 106.
^ Press et al., pp. 754-755.
^ Hairer et al. (1993), pp. 106-107.
^ Iserles, pp. 171-176.
^ ^a ^b ^c ^d 精度保証付き数値計算の基礎』大石進一編著、コロナ社、2018年。
^ Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka (2019). Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations. Springer. doi:10.1007/978-981-13-7669-6
^ 中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算チュートリアル: 応用数理最前線.
^ 中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社.
^ 大石進一、非線形解析入門、コロナ社。

精度保証・計算機援用証明に関する論文

^ Butcher, J. C. (1996). A history of Runge-Kutta methods. Applied numerical mathematics, 20(3), 247-260.
^ Hochbruck, M., & Ostermann, A. (2010). Exponential integrators. en:Acta Numerica, 19, 209-286.
^ Al-Mohy, A. H., & Higham, N. J. (2011). Computing the action of the matrix exponential, with an application to exponential integrators. en:SIAM journal on scientific computing, 33(2), 488-511.
^ Monroe, J. L. (2002). Extrapolation and the Bulirsch-Stoer algorithm. Physical Review E, 65(6), 066116.
^ Kirpekar, S. (2003). Implementation of the Bulirsch Stoer extrapolation method. Department of Mechanical Engineering, UC Berkeley/California.
^ Symplectic integrators: An introduction, American Journal of Physics 73, 938 (2005); https://doi.org/10.1119/1.2034523 Denis Donnelly.
^ Y. B. Suris, Hamiltonian Runge-Kutta type methods and their variational formulation (1990) Matematicheskoe modelirovanie, 2(4), 78-87.
^ Iserles, A., & Quispel, G. R. W. (2016). Why geometric integration?. arXiv preprint arXiv:1602.07755.
^ 平山弘, 小宮聖司, & 佐藤創太郎. (2002). Taylor 級数法による常微分方程式の解法. 日本応用数理学会論文誌, 12(1), 1-8.
^ 平山弘. (2013). Taylor 展開法による常微分方程式の高次並列計算. 研究報告ハイパフォーマンスコンピューティング (HPC), 2013(3), 1-6.
^ 平山弘, & 佐藤創太郎. (2002). 遅延微分方程式の級数による解法 (Computer Algebra: Algorithms, Implementations and Applications).
^ Hirayama, H. (2002). Solution of ordinary differential equations by Taylor series method. JSIAM, 12, 1-8.
^ Hirayama, H. (2015). Performance of a Higher-Order Numerical Method for Solving Ordinary Differential Equations by Taylor Series. In Integral Methods in Science and Engineering (pp. 321-328). Birkhäuser, Cham.

^ Breuer, B., Plum, M., & McKenna, P. J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna. ISBN 978-3-211-83673-6, doi:10.1007/978-3-7091-6217-0_6.
^ Gidas, Basilis; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). “Symmetry and related properties via the maximum principle”. Communications in mathematical physics (Springer) 68 (3): 209-243. doi:10.1007/BF01221125. https://doi.org/10.1007/BF01221125. (要購読契約)
^ ^a ^b ^c Lohner，R．J.，Enclosing the Solution of Ordinary lnitial and Boundary Value Problems, Computer arithmetic：Scientific Computation and Programming Languages，Kaucher，E.，Kulisch，U., Ullrich，Ch．(eds.)， B．G．Teubner，Stuttgart (1987), 255−286.
^ Rihm, R. (1994). Interval methods for initial value problems in ODEs. Topics in Validated Computations, 173-207.
^ Hungria, A., Lessard, J. P., & Mireles-James, J. D. (2014). Radii polynomial approach for analytic solutions of differential equations: Theory, examples, and comparisons. Math. Comp.
^ Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Pryce, J. D. (2001). An effective high-order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE. Reliable Computing, 7(6), 449-465.
^ Corliss, G. F. (1989). Survey of interval algorithms for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 31, 112-120.
^ Nedialkov, N. S. (2000). Computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation (Ph.D. thesis). University of Toronto.
^ Eijgenraam, P. (1981). The solution of initial value problems using interval arithmetic: formulation and analysis of an algorithm. MC Tracts.
^ Nedialkov, N. S., & Jackson, K. R. (1999). An interval Hermite-Obreschkoff method for computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation. Reliable Computing, 5(3), 289-310.
^ Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Corliss, G. F. (1999). Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 105(1), 21-68.
^ Berz, M., & Makino, K. (1998). Verified integration of ODEs and flows using differential algebraic methods on high-order Taylor models. Reliable computing, 4(4), 361-369.
^ 柏木啓一郎, & 柏木雅英. (2011). 平均値形式とアフィン演算を用いた常微分方程式の精度保証法. 日本応用数理学会論文誌, 21(1), 37-58.
^ Kashiwagi, M. (1995). Numerical Validation for Ordinary Differential Equations using Power Series Arithmetic. In Numerical Analysis Of Ordinary Differential Equations And Its Applications (pp. 213-218).
^ 相馬隆郎, & 大石進一. (2003). 精度保証付き数値計算法を用いた常微分方程式の全解探索アルゴリズム. 電子情報通信学会論文誌 A, 86(6), 663-673.
^ Takayasu, A., Matsue, K., Sasaki, T., Tanaka, K., Mizuguchi, M., & Oishi, S. I. (2017). Numerical validation of blow-up solutions of ordinary differential equations. en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 314, 10-29.
^ Matsue, K., & Takayasu, A. (2019). Rigorous numerics of blow-up solutions for ODEs with exponential nonlinearity. arXiv preprint arXiv:1902.01842.
^ Hassard, B., Zhang, J., Hastings, S. P., & Troy, W. C. (1994). A computer proof that the Lorenz equations have “chaotic” solutions. Applied Mathematics Letters, 7(1), 79-83.
^ Mischaikow, K., & Mrozek, M. (1995). Chaos in the Lorenz equations: a computer-assisted proof. en:Bulletin of the American Mathematical Society, 32(1), 66-72.
^ Mischaikow, K., & Mrozek, M. (1998). Chaos in the Lorenz equations: A computer assisted proof. Part II: Details. en:Mathematics of Computation, 67(223), 1023-1046.
^ Mischaikow, K., Mrozek, M., & Szymczak, A. (2001). Chaos in the lorenz equations: A computer assisted proof part iii: Classical parameter values. Journal of Differential Equations, 169(1), 17-56.
^ Galias, Z., & Zgliczyński, P. (1998). Computer assisted proof of chaos in the Lorenz equations. Physica D: Nonlinear Phenomena, 115(3-4), 165-188.
^ Tucker, W. (1999). The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197-1202.
^ Zgliczynski, P. (1997). Computer assisted proof of chaos in the Rössler equations and in the Hénon map. Nonlinearity, 10(1), 243.
^ 大石進一. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証. 電子情報通信学会技術研究報告. CAS, 回路とシステム, 93(102), 91-96.
^ 大石進一. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証 (常微分方程式系の数値解析とその周辺). 京都大学数理解析研究所講究録.
^ Makino, K., & Berz, M. (2006). Cosy infinity version 9. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 558(1), 346-350.
^ Berz, M., Makino, K., Shamseddine, K., Hoffstätter, G. H., & Wan, W. (1996). 32. COSY INFINITY and Its Applications in Nonlinear Dynamics.
^ S.M. Rump: INTLAB - INTerval LABoratory. In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable Computing, pages 77-104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.
^ Overview of kv – a C++ library for verified numerical computation, Masahide Kashiwagi, SCAN 2018.