数値解法の必要性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 07:11 UTC 版)
「固有値問題の数値解法」の記事における「数値解法の必要性」の解説
5次以上の一般の（実数あるいは複素数の）行列において、有限回の（四則及び冪根を開く）代数的操作によって厳密な固有値を求める直接法はない（そうして固有値問題の数値解法は反復法に限られる）。もしも有限回の代数的操作で厳密な固有値を求める方法があるとするならば、係数が一般の n {\displaystyle n} 次代数方程式: x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 {\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0} の解 λ 1 , ⋯ , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}} は同伴行列: ( 0 − a n 1 0 ⋯ ⋯ − a n − 1 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ − a 2 1 − a 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&&&-a_{n}\\1&0&\cdots &\cdots &-a_{n-1}\\&\ddots &\ddots &&\vdots \\&&\ddots &\ddots &-a_{2}\\&&&1&-a_{1}\\\end{pmatrix}}} の固有値を求めることにより有限回の代数的操作で求まることになるが、これはガロア理論の結論と相いれない。
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数値解法の必要性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 18:27 UTC 版)
「常微分方程式の数値解法」の記事における「数値解法の必要性」の解説
これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの常微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、フックス型微分方程式などを除いて、手計算だけで厳密に解ける常微分方程式は多くない。そのため多くの研究者たちが常微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた。最も標準的な手法はルンゲ・クッタ法であり、MATLABにはode45として搭載されている。しかしこれは万能なソルバーとは言えない。例えばパンルヴェ方程式やリッカチ方程式などは非線形性によって精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため[要出典]、 線型多段法 リープ・フロッグ法 オイラー法の進化系後退オイラー法 (en) en:semi-implicit Euler method en:Euler–Maruyama method (確率微分方程式に特化した解法) en:exponential integrator (行列指数関数を使う解法) 狙い撃ち法 en:Bulirsch–Stoer algorithm シンプレクティック数値積分法 テイラー級数を用いる方法 などの新しい解法に関する研究が進められている。
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