常微分方程式の数値解法

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常微分方程式の数値解法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/06 16:58 UTC 版)

微分方程式
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
範囲 自然科学 工学 天文学 物理学 化学 生物学 地質学 応用数学 連続体力学 カオス理論 力学系 社会科学 経済学 個体群動態論
分類
タイプ 常 偏 微分代数（英語版） 積分微分 分数階 線型 非線形 変数のタイプにより 独立変数と従属変数（英語版） 自律微分方程式 複素 Coupled / Decoupled 完全（英語版） 斉次（英語版） / 非斉次（英語版） 特徴 階数（英語版） 作用素 記法
過程との関係 差分 (離散類似) 確率 確率偏（英語版） 遅延（英語版）
解
一般的な話題 ピカール＝リンデレーフの定理 コーシー＝コワレフスカヤの定理 ペアノの存在定理 ロンスキアン Phase portrait（英語版） 相空間 リャプノフ / 漸近安定性 / 指数安定性（英語版） 収束率（英語版） 級数（英語版） / 積分解 数値積分 ディラックのデルタ関数
解法（英語版） Inspection 特性曲線法 広田の方法 常微分方程式の数値解法 オイラー ルンゲ・クッタ 線型多段法 狙い撃ち法 偏微分方程式の数値解法 有限差分 (クランク・ニコルソン（英語版）) 有限要素 有限体積 ガレルキン（英語版） 可積分アルゴリズム 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 積分因子 積分変換 摂動論 変数分離 未定係数
人物 (海外) アイザック・ニュートン レオンハルト・オイラー エミール・ピカール ユゼフ・マリア・ハーネー＝ウロンスキー エルンスト・リンデレフ（英語版） ルドルフ・リプシッツ オーギュスタン＝ルイ・コーシー ジョン・クランク（英語版） フィリス・ニコルソン（英語版） カール・ルンゲ マルティン・クッタ ソフィア・コワレフスカヤ ポール・パンルヴェ イズライル・ゲルファント ウラジーミル・アーノルド ヴォルフガンク・ウォルター テレンス・タオ ピーター・オルバー
日本人 福原満洲雄 溝畑茂 加藤敏夫 藤田宏 増田久弥 木村俊房 広田良吾 佐藤幹夫 神保道夫
表 話 編 歴

常微分方程式の数値解法 (じょうびぶんほうていしきのすうちかいほう、英: Numerical methods for ODEs) は、数値解析において常微分方程式を数値的に解く技術の総称である^[1][2]。

数値解法の必要性

これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの常微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、フックス型微分方程式^[3][4]などを除いて、式変形による計算だけで厳密に解ける常微分方程式は多くない。そのため多くの研究者たちが常微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた^[1][2]。最も標準的な手法はルンゲ・クッタ法であり^{[1][2][5][A 1]}、MATLABにはode45として搭載されている。しかしこれは万能なソルバーとは言えない。例えばパンルヴェ方程式^[6][7][8]やリッカチ方程式^[9]などは非線形性によって精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため^[要出典]、

• 線型多段法^[1][2]
• リープ・フロッグ法
• オイラー法の進化系
  • 後退オイラー法 (en)
  • en:semi-implicit Euler method
  • en:Euler–Maruyama method (確率微分方程式に特化した解法)
• en:exponential integrator (行列指数関数を使う解法)^{[A 2][A 3]}
• 狙い撃ち法
• en:Bulirsch–Stoer algorithm^{[A 4][A 5]}
• シンプレクティック数値積分法^{[10][11][A 6][A 7][A 8]}
• テイラー級数を用いる方法^{[A 9][A 10][A 11][A 12][A 13]}

などの新しい解法に関する研究が進められている。

初期値問題

${\displaystyle N}$

オイラー法、ホイン法、古典的ルンゲ＝クッタ法 (RK4) の相対誤差の比較。初期値 ${\displaystyle y(0)=0}$要購読契約)

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^ 大石進一. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証 (常微分方程式系の数値解析とその周辺). 京都大学数理解析研究所講究録.

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^ Berz, M., Makino, K., Shamseddine, K., Hoffstätter, G. H., & Wan, W. (1996). 32. COSY INFINITY and Its Applications in Nonlinear Dynamics.

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^ Overview of kv – a C++ library for verified numerical computation, Masahide Kashiwagi, SCAN 2018.

参考文献

和書

• 戸川隼人：「微分方程式の数値計算：有限要素法と差分法」、オーム社（1973年8月）。
• 一松信：「微分方程式と解法」、教育出版、ISBN 978-4-316-37661-5（1976年11月）。　
• 三井斌友：「常微分方程式の数値解法」, 岩波書店、ISBN 978-4-00-005453-9（2003年7月29日）。
• 三井斌友、小藤俊幸、斉藤善：「微分方程式による計算科学入門」、共立出版 、ISBN 978-4-320-01753-5 (2004年2月25日)。※ ハミルトン系に対するシンプレクティック法、遅延微分方程式、確率微分方程式が扱われている。
• U.M.アッシャー、L.R.ペツォルド：「常微分方程式と微分代数方程式の数値解法」、培風館、ISBN 4-563-01125-8 (2006年7月14日)。
• E.ハイラー、S.P.ネルセット、G.バンナー, 三井斌友(訳)：「常微分方程式の数値解法 I　(基礎編）」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06282-1（2007年12月）。
• E.ハイラー、G.バンナー, 三井斌友(訳)：「常微分方程式の数値解法 II　(発展編）」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06317-0（2008年8月）。
• 齊藤宣一『数値解析 （共立講座 数学探検 17）』共立出版、2017年。ISBN 978-4-320-99274-0。 
• 神永正博:「Pythonと実例で学ぶ微分方程式：はりの方程式から感染症の数理モデルまで」、コロナ社、ISBN 978-4-339-06123-9 (2021年10月22日)。※ 応用とPythonのライブラリの利用に主眼がある。

洋書

• Mitsui, T., & Shinohara, Y. (1995). Numerical analysis of ordinary differential equations and its applications. en:World Scientific.
• Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0. (日本語版が丸善出版から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
• Wanner, G. & Hairer, E. (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems (2nd ed.). Springer Berlin Heidelberg. (日本語版が丸善出版から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
• Butcher, John C. (2008), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-72335-7.
• John D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5.
• Deuflhard, P., & Bornemann, F. (2012). Scientific computing with ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Shampine, L. F. (2018). Numerical solution of ordinary differential equations. Routledge.
• Dormand, John R. (1996), Numerical Methods for Differential Equations: A Computational Approach, Boca Raton: en:CRC Press.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (1992). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing (2nd ed.). Cambridge University Press. doi:10.2277/0521431085. ISBN 978-0-521-43108-8 
• Stoer, Josef; Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis. Springer. doi:10.1007/978-0-387-21738-3. ISBN 978-0-387-21738-3 
• Hackbusch, Wolfgang (2014). The Concept of Stability in Numerical Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-642-39386-0. ISBN 978-3-642-39386-0 
• John C. Butcher: "B-Series : Algebraic Analysis of Numerical Methods", Springer（SSCM, volume 55), ISBN 978-3030709556 (April, 2021).
• Hairer Ernst, Lubich Christian, Wanner Gerhard: "Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations" (2nd Ed.), Springer, ISBN 978-3-540-30663-4 (2006).
• Kees Vuik, Fred Vermolen,Martin van Gijzen and Thea Vuik: "Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", ISBN 978-94-6366-665-7 (2023年1月8日）

微分代数方程式の数値解法

→「en:differential-algebraic system of equations」も参照

• Brenan, K. E., Campbell, S. L., & Petzold, L. R. (1996). Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations. SIAM.
• Hairer, E., Lubich, C., & Roche, M. (2006). The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Springer.
• Kunkel, P., & Mehrmann, V. (2006). Differential-algebraic equations: analysis and numerical solution. European Mathematical Society.
• Marz, R. (1992). Numerical methods for differential algebraic equations. en:Acta Numerica, 1, 141-198.

遅延微分方程式の数値解法

→「en:Delay differential equation」も参照

• Bellen, A., & Zennaro, M. (2013). Numerical methods for delay differential equations. Oxford University Press.
• Zennaro, M. (1995). Delay differential equations: theory and numerics. Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, 291-333.

外部リンク

プロジェクト 数学

ポータル 数学

• Verified ODE (IVP) Solver
• 常微分方程式で記述される非線形力学系に関する精度保証付き計算法の研究
• 硬い常微分方程式が与える連続力学系の周期解の数値計算
• 宮武勇登：「今更聞けない数値計算アルゴリズム（常微分⽅程式 編）」

解説記事

近似解法

• 常微分方程式の初期値問題の数値解法
• 常微分方程式の数値解法
• symplectic integrator in nLab
• Symplectic数値積分法
• Symplectic Integratorの紹介

精度保証

• 常微分方程式の精度保証パッケージ開発 (PDF)
• 常微分方程式の精度保証付き数値解法 (PDF) (ファン・デル・ポール振動子を扱った実験例が掲載されている)

研究集会

• 常微分方程式の数値解法とその周辺 2019
• 常微分方程式の数値解法とその周辺 2018

ソフトウェア

• INTLAB
• Short demonstration of the AWA toolbox
• Short demonstration of the Taylor model toolbox

表 話 編 歴 数学
主要分野	数理論理学 集合論 圏論 代数学 初等 線型 多重線型 抽象 算術/数論 解析学/微分積分学 関数解析学 行列解析 幾何学 代数 微分 有限 離散 位相 代数的位相 表現論 リー理論（英語版） 微分方程式 線型微分方程式 複素微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 積分微分方程式 力学系 組合せ数学 数理物理学 ゲーム理論 グラフ理論 最適化問題 数理最適化 計算理論 確率論 数理統計学（英語版） 制御理論 三角法
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