コーシー＝コワレフスカヤの定理とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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コーシー＝コワレフスカヤの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:44 UTC 版)

コーシー=コワレフスカヤの定理(コーシー=コワレフスカヤのていり、英: Cauchy–Kovalevskaya theorem)とは偏微分方程式の解の存在と一意性についての基礎定理。解析性についての仮定の下、局所解の存在と一意性を保証する。常微分方程式の場合と準線形な偏微分方程式の特別な場合の結果を数学者コーシーが示し、その後、数学者コワレフスカヤによって一般的な偏微分方程式の場合に証明が与えられた。

定理の内容

(t, x) = (t, x₁, x₂,..., x_n)を、n+1次元実ベクトル空間Rⁿ⁺¹（もしくはn+1次元複素ベクトル空間Cⁿ⁺¹）の点とし、次の形の偏微分方程式系

{\frac {\partial ^{p_{i}}u_{i}}{\partial t^{p_{i}}}}=F_{i}{\biggl (}t,x,u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,{\frac {\partial ^{|\nu |}u_{j}}{\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}}},\dotsc ,{\biggr )}\quad (1\leq i,j,\leq m)

\quad |\nu |=\nu _{1}+\nu _{1}+\dotsb +\nu _{n}\leq p_{j},\quad \nu _{0}<p_{j}

を初期条件

{\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}(0,x)=w_{ik}(x)\quad (1\leq i\leq m,0\leq k\leq p_{i}-1)

の下に考える。各F_i (1 ≤ i ≤ m)は、左辺に現れる $\partial ^{p_{i}}u_{i}/\partial t^{p_{i}}$ の項は含まず、正規形(normal form)であるとする。

ここでF_i (1 ≤ i ≤ m)は、全変数 $t,x,u_{1},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,(\partial ^{|\nu |}u_{j}/\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}),\dotsc$ について、(0,0,...,0)の近傍で収束べき級数を持つ、すなわち解析的（C^ω級）であるとし、w_ik(x) (1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ p_i-1)もx=0の近傍で解析的であるとする。このとき、上記の偏微分方程式の初期問題を満たす解析的な解u_i(t, x) (1 ≤ i ≤ m)が(t,x)=(0,0)の近傍で一意的に存在する。