解が存在しない例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/22 08:40 UTC 版)
「コーシー＝コワレフスカヤの定理」の記事における「解が存在しない例」の解説
無限回微分可能（C∞級）であっても、解析的（Cω級）でない場合には、解の存在は保証されない。そのような例として、1956年、数学者H. Lewyは次のような例を示した。 ∂ v 1 ∂ x 1 = ∂ v 2 ∂ x 2 − 2 x 2 ∂ v 1 ∂ x 3 − 2 x 1 ∂ v 2 ∂ x 3 − f ( x 3 ) {\displaystyle {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-2x_{2}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-2x_{1}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}}-f(x_{3})} ∂ v 2 ∂ x 1 = − ∂ v 1 ∂ x 2 + 2 x 1 ∂ v 1 ∂ x 3 − 2 x 1 ∂ v 2 ∂ x 3 {\displaystyle {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+2x_{1}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-2x_{1}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}}} この例では、x1, x2, x3について、(0,0,0)の近傍で、1階連続微分可能な解を持つならば、f (x3)はx3 =0の近傍で解析的でなければならない。従って、f (x3)がC∞級であっても、解析的でなければ、局所解が存在しない。なお、この方程式は u = v 1 + i v 2 ( i = − 1 ) {\displaystyle u=v_{1}+iv_{2}\quad (i={\sqrt {-1}})} とすれば、 ∂ u ∂ x 1 + i ∂ u ∂ x 2 + 2 i ( x 1 + i x 2 ) ∂ u ∂ x 3 = f ( x 3 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}+2i(x_{1}+ix_{2}){\frac {\partial u}{\partial x_{3}}}=f(x_{3})} の形にまとめられる。
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