コーシー問題

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コーシー問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/17 05:32 UTC 版)

数学におけるコーシー問題（コーシーもんだい、英: Cauchy problem）とは、定義域の超曲面上で与えられる特定の条件を満たすような偏微分方程式の解を探す、という問題である。コーシー問題は初期値問題でもあり得るし、境界値問題（この場合については、コーシー境界条件を参照）でもあり得る。さらには、それらのいずれでも無いこともあり得る。オーギュスタン＝ルイ・コーシーの名にちなむ。

Rⁿ 上で定義される偏微分方程式と、n − 1 次元の滑らかな多様体 S ⊂ Rⁿ（S はコーシー曲面と呼ばれる）を考える。この場合のコーシー問題は、次を満たす微分方程式の解 u を見つける、という問題である：

${\begin{aligned}u(x)&=f_{0}(x)\qquad &&{\text{for all }}x\in S;\\{\frac {\partial ^{k}u(x)}{\partial n^{k}}}&=f_{k}(x)\qquad &&{\text{for }}k=1,\ldots ,\kappa -1{\text{ and all }}x\in S.\end{aligned}}$ この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。