偏微分方程式の数値解法

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偏微分方程式の数値解法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/06 15:22 UTC 版)

微分方程式
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
範囲 自然科学 工学 天文学 物理学 化学 生物学 地質学 応用数学 連続体力学 カオス理論 力学系 社会科学 経済学 個体群動態論
分類
タイプ 常 偏 微分代数（英語版） 積分微分 分数階 線型 非線形 変数のタイプにより 独立変数と従属変数（英語版） 自律微分方程式 複素 Coupled / Decoupled 完全（英語版） 斉次（英語版） / 非斉次（英語版） 特徴 階数（英語版） 作用素 記法
過程との関係 差分 (離散類似) 確率 確率偏（英語版） 遅延（英語版）
解
一般的な話題 ピカール＝リンデレーフの定理 コーシー＝コワレフスカヤの定理 ペアノの存在定理 ロンスキアン Phase portrait（英語版） 相空間 リャプノフ / 漸近安定性 / 指数安定性（英語版） 収束率（英語版） 級数（英語版） / 積分解 数値積分 ディラックのデルタ関数
解法（英語版） Inspection 特性曲線法 広田の方法 常微分方程式の数値解法 オイラー ルンゲ・クッタ 線型多段法 狙い撃ち法 偏微分方程式の数値解法 有限差分 (クランク・ニコルソン（英語版）) 有限要素 有限体積 ガレルキン（英語版） 可積分アルゴリズム 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 積分因子 積分変換 摂動論 変数分離 未定係数
人物 (海外) アイザック・ニュートン レオンハルト・オイラー エミール・ピカール ユゼフ・マリア・ハーネー＝ウロンスキー エルンスト・リンデレフ（英語版） ルドルフ・リプシッツ オーギュスタン＝ルイ・コーシー ジョン・クランク（英語版） フィリス・ニコルソン（英語版） カール・ルンゲ マルティン・クッタ ソフィア・コワレフスカヤ ポール・パンルヴェ イズライル・ゲルファント ウラジーミル・アーノルド ヴォルフガンク・ウォルター テレンス・タオ ピーター・オルバー
日本人 福原満洲雄 溝畑茂 加藤敏夫 藤田宏 増田久弥 木村俊房 広田良吾 佐藤幹夫 神保道夫
表 話 編 歴

計算物理学
数値解析 · シミュレーション（英語版） データ解析 · 可視化（英語版）
ポテンシャル モース長距離ポテンシャル レナード-ジョーンズ・ポテンシャル 湯川ポテンシャル モースポテンシャル
流体力学 偏微分方程式の数値解法 有限差分法 · 有限体積法 有限要素法 · 境界要素法 格子ボルツマン法 · リーマン解法（英語版） 散逸粒子動力学（英語版） SPH法 乱流モデル
モンテカルロ法 モンテカルロ積分（英語版） ギブスサンプリング · メトロポリス法
粒子 多体問題 · Particle-in-cell 分子動力学
研究者 ゴドゥノフ（英語版） · ウラム フォン・ノイマン · ガラーキン（英語版） ローレンツ
表 話 編 歴

偏微分方程式の数値解法 (へんびぶんほうていしきのすうちかいほう、英: Numerical methods for PDEs) は、数値解析において偏微分方程式を数値的に解く技術の総称である^[1][2]。

→「偏微分方程式」および「数値解析」も参照

背景

数値解法の必要性

これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの偏微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、ソリトン方程式に対する広田の方法^[3]やen:inverse scattering transform^[4] などを除いて、偏微分方程式を手計算だけで厳密に解く技術はほとんどないに等しい。そのため多くの研究者たちが偏微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた^[1][2]。

差分法とその問題点

→詳細は「差分法」を参照

偏微分方程式を数値的に解く技術の中で最も初歩的なものは差分法である。これは微分を差分で近似して解くというものである^[1][2]。

${\displaystyle f^{\prime }(x)\simeq {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\quad h<<1.}$

プロジェクト 数学