モンテカルロ法とは?

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モンテ カルロほう -はふ [0] 【モンテカルロ法】

偶然現象経過シミュレーションする場合に、乱数用いて数値計算行い問題近似解を得る方法コンピューター発達によって広い分野利用されている。

モンテカルロ法

【英】:Monte Carlo Method

読み方】:モンテカルロホウ

乱数用いて膨大なシミュレーションを行うことによって近似解を導出する方法。複雑なオプション解析式が存在しないタイプのものの価値算出する際にも用いられる。

関連用語


モンテカルロ法

読み方もんてかるろほう

乱数用いて膨大なシュミレーションを行うことによって近似解を導き出す方法

複雑なオプション解析式が存在しないようなタイプのものの価値算出する際に用いられることもあります


モンテカルロ法

読み方モンテカルロほう
別名:モンテカルロ解析
【英】Monte Carlo method

モンテカルロ法とは、確率論的問題解析するための手法で、大量乱数用いて何度もシミュレーション行なうことによって近似解を求め計算手法のことである。

モンテカルロ法では、対象となる条件式に、コンピュータ発生させた乱数あてはめる操作繰り返すことによって様々な解のサンプル大量採取していく。解析的手法によって解を得ることが困難な問題でも、膨大な量のシミュレーション繰り返すことによって、解の値に接近してゆくことができる。

モンテカルロ法には、精度の高い近似解を得ようとすればするほど膨大な回数計算が必要になるという困難があった。コンピュータによって多量乱数生成し、多量演算短時間で処理し、演算結果統計まで行ってしまうことによって、非常に効率的解析を可能とした。

モンテカルロ法は第二次大戦中、コンピューターの父と呼ばれるジョン・フォン・ノイマンJohn Luis von Neumann)によって、中性子物質中を動き回る様子を探るために考案されたといわれている。なお、当初から通称として呼ばれていたモンテカルロの名は、モナコ公国首都モンテカルロにちなんだものであると言われている。

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モンテカルロ法

【英】:Monte Carlo method

決定論および確率論的問題の処理に無作為選択利用する方法で、乱数を用いる数値計算法の総称入射電子試料内部散乱し拡がってゆく過程シミュレーションするのに用いられる。入射電子線のエネルギーが高いほど広がり大きくなる原子番号および密度大きいほど広がり小さくなる特性X線分光における定量分析の際に、原子番号効果求めるときなどに用いられている。

関連する用語


モンテカルロ法 Monte Carlo Method

  確率的な現象利用して各種数値計算行い問題の解や法則性などを得る方法経済評価における不確定要素を扱うための最も一般的なシミュレーション手法である。
モンテカルロ法
分野 一般掘削用語2
同義語  
関連用語  
類似語  
略語  
モンテカルロ法

モンテカルロ法

読み方もんてかるろほう
【英】:Monte Carlo method

概要

乱数を使って実験する方法のこと. 第二次世界大戦中原爆開発に関する極秘プロジェクトを示す符丁として, フォンノイマン等がカジノで有名なモンテカルロに因んで命名したとされている.本来は, 確率的な変動含まない問題を解くのに乱数利用する方法のことであったが, 現在では乱数を使う実験総称として使われることが多い.

詳説

 システム特性値などを推定するために, 適当なモデル乱数を使って実験し, 大数の法則中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システム確率的な変動内在する場合だけでなく, 確定的問題を解くためにも使われる.

 モンテカルロ法原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を \theta \,とし, これは既知分布関数 F(y) \,を持つ確率変数 Y \,関数 g(Y) \,平均値等しいものとすれば,



\theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) =
\int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \,


と書ける. ただし, h(u)=g(F^{-1}(u)) \,である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 U_1, U_2, \cdots, U_N \,発生し, 算術平均



A_1(N) = \sum_{i=1}^N h(U_i)/N \,


\theta \,推定値とすることが考えられる. A_1(N) \,\theta \,不偏推定量であり, 分散


V(A_1(N)) = \frac{\sigma^2}N, \ \ \ \ \ 
\sigma^2 = \int_0^1 h^2(x) \mathrm{d}x-\theta^2 \,


となる. したがって, 推定量 A_1(N) \,含まれる誤差標準偏差\sigma/\sqrt N \,であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプルN \,10倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法種々提案されており, 分散減少法総称されている. ただし, これらは 1/\sqrt N \,というオーダー改善するものではなく, 比例係数小さくするための工夫である.

重点サンプリング

 積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(h(x) \,絶対値大き部分)により多く重みをおく密度関数w(x) \,に従う乱数X_1,\cdots, \ \ X_N \,発生し,



A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \,


\theta \,推定する. w(x) \,\left| h(x) \right| \,比例するように選べれば分散最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する.


制御変量法

 \theta \,対するひとつの不偏推定量Y \,とする. Y \,相関があって平均値\zeta \,既知確率変数Z \,のことを, Y \,制御変量という. \alpha \,定数として



Y_\alpha = Y-\alpha(Z-\zeta) \,


と定義すれば, Y_\alpha \,\theta \,不偏推定量となり, その分散\alpha^* = \mathrm{Cov}(Y, Z)/V(Z) \,のとき最小となり, 最小値



V(Y_{\alpha^*})=(1-\rho^2)V(Y) \,


である. ここで\rho \,Y \,Z \,相関係数であるから, Y \,相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である.

 定積分の例では, h(u) \,に近い関数h_0(u) \,で, その積分の値\zeta \,が正確に計算できるものを選び,



Y_\alpha = h(u)-\alpha(h_0(u)-\zeta) \,


に対して単純な一様サンプリング適用する.

負相関変量法

 \theta \,不偏推定量Y \,平均値が同じで負の相関を持つ変量Z \,利用して, W=(Y+Z)/2 \,\theta \,推定量とする. この分散は, Y \,に対して2回独立サンプルをとって平均する場合分散より小さくなる. 定積分の例では, もしh(u) \,単調関数ならば, Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U) \,とするとよい.

共通乱数法

 二つ特性\theta,\phi \,それぞれ確率変数X,Y \,に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, \theta=E[X], \phi=E[Y] \,とする.



V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2 \mathrm{Cov}(X,Y) \,


であるから, {\mathrm{Cov}}(X,Y) \,大きいほど推定精度良くなる. X \,Y \,分布関数それぞれF,G \,とし, X \,Y \,逆関数法作るものとする. このとき, X \,Y \,用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列\{U\} \,を使って, X=F^{-1}(U), Y=G^{-1}(U) \,とすれば, \mathrm{Cov}(X,Y) \,最大となる. これが共通乱数法原理である.



参考文献

[1] 伏見正則, 『確率方法シミュレーション』(岩波講座 応用数学), 岩波書店, 1994.

[2] G. S. Fishman, Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications, Springer, 1996.

[3] A. M. Law and W. D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed., McGraw-Hill, 1991.


モンテカルロ法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/03/28 14:55 UTC 版)

モンテカルロ法 (モンテカルロほう、: Monte Carlo method, MC) とはシミュレーション数値計算乱数を用いて行う手法の総称。元々は、中性子が物質中を動き回る様子を探るためにスタニスワフ・ウラムが考案しジョン・フォン・ノイマンにより命名された手法。カジノで有名な国家モナコ公国の4つの地区(カルティ)の1つであるモンテカルロから名付けられた。ランダム法とも呼ばれる。


  1. ^ Motwani & Raghavan 1995, p. 9.
  2. ^ Motwani & Raghavan 1995, p. 10.
  3. ^ a b 奥村晴彦 『C言語による最新アルゴリズム事典』 技術評論社、1991年、280-281頁。ISBN 4-87408-414-1


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