共通乱数法の原理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/02 01:12 UTC 版)
X 1 j {\displaystyle X_{1j}} と X 2 j {\displaystyle X_{2j}} とを、第1の設定と第2の設定とで独立に反復した j 回目の出力結果とし、今 ξ = E ( X 1 j ) − E ( X 2 j ) = μ 1 − μ 2 {\displaystyle \xi =E(X_{1j})-E(X_{2j})=\mu _{1}-\mu _{2}} を推定したいとする。各設定について出力を n 回実行し Z j = X 1 j − X 2 j for j = 1 , 2 , … , n {\displaystyle Z_{j}=X_{1j}-X_{2j}\quad {\mbox{for }}j=1,2,\ldots ,n} とおくと E ( Z j ) = ξ {\displaystyle E(Z_{j})=\xi } であり、 Z ( n ) = ∑ j = 1 , … , n Z j n {\displaystyle Z(n)={\frac {\sum _{j=1,\ldots ,n}Z_{j}}{n}}} は ξ {\displaystyle \xi } の不偏推定量である。 確率変数列 Z j {\displaystyle Z_{j}} は独立同分布なので、 Var [ Z ( n ) ] = Var ( Z j ) n = Var [ X 1 j ] + Var [ X 2 j ] − 2 Cov [ X 1 j , X 2 j ] n {\displaystyle \operatorname {Var} [Z(n)]={\frac {\operatorname {Var} (Z_{j})}{n}}={\frac {\operatorname {Var} [X_{1j}]+\operatorname {Var} [X_{2j}]-2\operatorname {Cov} [X_{1j},X_{2j}]}{n}}} 乱数列を共有せず、それぞれに別個のものを用いる場合は Cov(X1j, X2j) = 0 だが、X1 と X2 との間に正の相関をもたらす（Cov(X1j, X2j) > 0）ような要素をうまく導入することができれば、上式の通り分散を減少させられる。 共通の乱数列によって相関が負になる（Cov(X1j, X2j) < 0）場合、この手法は逆効果、つまり意に反して分散を増大させてしまい得ることもわかる。
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