積分の結果が対数となるとき
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:15 UTC 版)
「リーマン和」の記事における「積分の結果が対数となるとき」の解説
[ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} のとき 等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、左和と右和は、それぞれ、 ∑ k = 0 n − 1 1 2 k n ( 2 k + 1 n − 2 k n ) = n ( 2 1 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)} ∑ k = 1 n 1 2 k n ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)} となるが、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } での極限をとると、 ∫ 1 2 1 x d x = lim n → ∞ n ( 2 1 n − 1 ) = lim n → ∞ n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)} となる。他方、逆微分より ∫ 1 2 1 x d x = ln 2 {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\ln 2} であるから、 ln 2 = lim n → ∞ n ( 2 1 n − 1 ) = lim n → ∞ n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \ln 2=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)} が得られる。 .mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox-note{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox .navbar{position:absolute;top:-0.75em;right:1em;display:none} この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。
※この「積分の結果が対数となるとき」の解説は、「リーマン和」の解説の一部です。
「積分の結果が対数となるとき」を含む「リーマン和」の記事については、「リーマン和」の概要を参照ください。
- 積分の結果が対数となるときのページへのリンク
