積分の評価の詳細
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 09:31 UTC 版)
「円周率が22/7より小さいことの証明」の記事における「積分の評価の詳細」の解説
被積分関数の分母と分子が共に非負であることから、この積分の値が正であることは直ちに分かる。よって、あとはこの積分の値を、有理関数の標準的な積分の手順に従って求めればよい。 0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 x 4 − 4 x 5 + 6 x 6 − 4 x 7 + x 8 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 ( x 6 − 4 x 5 + 5 x 4 − 4 x 2 + 4 − 4 1 + x 2 ) d x = [ x 7 7 − 2 x 6 3 + x 5 − 4 x 3 3 + 4 x − 4 arctan x ] 0 1 = 1 7 − 2 3 + 1 − 4 3 + 4 − π = 22 7 − π {\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\&=\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}\\&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \\&={\frac {22}{7}}-\pi \end{aligned}}}
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