有名な数学的事実であるところの、円周率 π 22 / 7 証明 7 ぶんの 22 よりちいさいことのしょうめい）は、古代ギリシア のアルキメデス に始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、微分積分学 の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その数学的な美 およびディオファントス近似 の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「π [1] 連分数 近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している[2]
もし円周率が 3.14159 に近いことを知っていれば、22/7 （3.142857 に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、π < 22/7π 3.14159 に近いことを示すよりもずっと手間は小さい。この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。
背景 22/7 は、π 連分数 展開から得られる近似値 の一つであり、また、表現が簡潔であることから π 22/7 が π 十進法 での小数展開
22
7
=
3.
142
857
¯
π
=
3.141
592
65
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi \,&=3.141\,592\,65\cdots \end{aligned}}}
より分かる。
この近似値は古代 より知られており、アルキメデス は紀元前3世紀 に、22/7 が円周を大きめに見積もった近似値であることを証明した[注釈 1] 周長 の、円の直径に対する比が、22/7 よりも小さいことを示すものであった[注釈 1] 22/7 は円周率の近似値として用いられていた形跡がある。
より精密な π 355/113 がある。これも π
証明 証明の概略は非常に簡潔に述べられる。
0
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
=
22
7
−
π
{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={\frac {22}{7}}-\pi }
より、π 22/7 よりも小さい。
この積分の計算は、1968年 のウィリアム・ローウェル・パトナム数学競技会（英語版 ） の最初の問題として出題された[4] インド工科大学 の入試問題に用いられたこともある[5]
積分の評価の詳細 被積分関数の分母と分子が共に非負であることから、この積分の値が正であることは直ちに分かる。よって、あとはこの積分の値を、有理関数 の標準的な積分の手順に従って求めればよい。
0
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
<
=
∫
0
1
x
4
−
4
x
5
+
6
x
6
−
4
x
7
+
x
8
1
+
x
2
d
x
<
=
∫
0
1
(
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
4
x
2
+
4
−
4
1
+
x
2
)
d
x
<
=
[
x
7
7
−
2
x
6
3
+
x
5
−
4
x
3
3
+
4
x
−
4
arctan
x
]
0
1
<
=
1
7
−
2
3
+
1
−
4
3
+
4
−
π
<
=
22
7
−
π
{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\biggl (}x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}{\biggr )}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}={\biggl [}{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,{\biggr ]}_{0}^{1}\\&{\phantom {<}}={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \\&{\phantom {<}}={\frac {22}{7}}-\pi \end{aligned}}}
直ちに得られる円周率の評価 Dalzell は1944年 の論文で、この積分に言及し、被積分関数の分母に x = 1 を代入すると下からの評価が、x = 0 を代入すると上からの評価が得られると指摘した[6]
1
1260
=
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
2
d
x
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
d
x
=
1
630
{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,dx={\frac {1}{630}}}
であり、これより円周率 π の評価として
22
7
−
1
630
<
π
<
22
7
−
1
1260
{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}}
を得る。十進小数で表現すると 3.1412… < π < 3.1420… となる。これらの評価値の誤差は、0.015% 未満である。
より良い評価 π のより良い上限としてよく知られた 355 / 113
0
<
∫
0
1
x
8
(
1
−
x
)
8
(
25
+
816
x
2
)
3164
(
1
+
x
2
)
d
x
=
355
113
−
π
{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{3164(1+x^{2})}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi }
として与えられる[1]
355
113
=
3.141
592
92
⋯
{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\cdots }
であり、小数点以下6桁まで π と一致する。被積分関数の分母に x = 1 を代入すると、積分値の下限
∫
0
1
x
8
(
1
−
x
)
8
(
25
+
816
x
2
)
6328
d
x
=
911
5
261
111
856
=
0.000
000
173
⋯
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\cdots }
を得る。x = 0 を代入すると、積分値の上限として、上記の数の2倍を得るので、円周率の評価として
355
113
−
911
2
630
555
928
<
π
<
355
113
−
911
5
261
111
856
{\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}
を得る。この評価は、十進小数として表すと 3.141 592 57… < π < 3.141 592 74… であり、太文字で表した小数点以下6桁まで円周率と一致する。
一般化 Backhouse (1995) [7] Lucas (2005) で示唆されているように、ここまでの議論は一般化される（ただし、どちらの文献も詳しい計算は含んでいない）。任意の正整数 n に対して
1
2
2
n
−
1
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
d
x
<
1
2
2
n
−
2
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
1
+
x
2
d
x
<
1
2
2
n
−
2
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
d
x
,
{\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,}
が成り立ち、第二の積分は
1
2
2
n
−
2
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
1
+
x
2
d
x
=
∑
j
=
0
2
n
−
1
(
−
1
)
j
2
2
n
−
j
−
2
(
8
n
−
j
−
1
)
(
8
n
−
j
−
2
4
n
+
j
)
+
(
−
1
)
n
(
π
−
4
∑
j
=
0
3
n
−
1
(
−
1
)
j
2
j
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\&\qquad =\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}{\biggl (}\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}{\biggr )}\end{aligned}}}
となって π を含む式を得る。この式の最後の和は、ライプニッツの公式 に現れる級数 を有限で切ったものになっている。戻って第一の積分は
1
2
2
n
−
1
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
d
x
=
1
2
2
n
−
1
(
8
n
+
1
)
(
8
n
4
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}}
であり、第三の積分はこの2倍である。この値は、n が大きくなるにつれて急激に 0 に近付くので、ここで議論している方法が、π の近似値を求めるのに適していることが分かる。
これらの積分の計算
任意の整数 k ≥ 0 と l ≥ 2 に対して、
x
k
(
1
−
x
)
l
=
(
1
−
2
x
+
x
2
)
x
k
(
1
−
x
)
l
−
2
=
(
1
+
x
2
)
x
k
(
1
−
x
)
l
−
2
−
2
x
k
+
1
(
1
−
x
)
l
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{l}&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{l-2}\\&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{l-2}-2x^{k+1}(1-x)^{l-2}\end{aligned}}}
であるから、この変形を 2n 回繰り返すことにより
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
=
(
1
+
x
2
)
∑
j
=
0
2
n
−
1
(
−
2
)
j
x
4
n
+
j
(
1
−
x
)
4
n
−
2
(
j
+
1
)
+
(
−
2
)
2
n
x
6
n
.
{\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=(1+x^{2})\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.}
を得る。また、
x
6
n
−
(
−
1
)
3
n
=
∑
j
=
1
3
n
(
−
1
)
3
n
−
j
x
2
j
−
∑
j
=
0
3
n
−
1
(
−
1
)
3
n
−
j
x
2
j
=
∑
j
=
0
3
n
−
1
(
(
−
1
)
3
n
−
(
j
+
1
)
x
2
(
j
+
1
)
−
(
−
1
)
3
n
−
j
x
2
j
)
=
−
(
1
+
x
2
)
∑
j
=
0
3
n
−
1
(
−
1
)
3
n
−
j
x
2
j
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\&=\sum _{j=0}^{3n-1}{\bigl (}(-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}{\bigr )}\\&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\\\end{aligned}}}
である。ここに、第一の等式が成り立つのは j = 1, …, 3n − 1 の項が打ち消しあって消えるためであり、第二の等式では、第一の和において j = j 0 + 1 とおいて j 0 を改めて j としている。
これらの結果を用いて
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
2
2
n
−
2
(
1
+
x
2
)
=
∑
j
=
0
2
n
−
1
(
−
1
)
j
2
2
n
−
j
−
2
x
4
n
+
j
(
1
−
x
)
4
n
−
2
j
−
2
−
4
∑
j
=
0
3
n
−
1
(
−
1
)
3
n
−
j
x
2
j
+
(
−
1
)
3
n
4
1
+
x
2
(
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}&=\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\&\qquad {}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}\qquad (*)\end{aligned}}}
を得る。
次に、任意の整数 k , l ≥ 0 に対して、部分積分 を l 回適用することにより、
∫
0
1
x
k
(
1
−
x
)
l
d
x
=
l
k
+
1
∫
0
1
x
k
+
1
(
1
−
x
)
l
−
1
d
x
=
⋯
=
l
k
+
1
l
−
1
k
+
2
⋯
1
k
+
l
∫
0
1
x
k
+
l
d
x
=
1
(
k
+
l
+
1
)
(
k
+
l
k
)
(
∗
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{l}\,dx&={\frac {l}{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{l-1}\,dx\\&=\cdots \\&={\frac {l}{k+1}}{\frac {l-1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+l}}\int _{0}^{1}x^{k+l}\,dx\\&={\frac {1}{(k+l+1){\binom {k+l}{k}}}}\qquad (**)\end{aligned}}}
を得る。特に、k = l = 4n とおけば
∫
0
1
x
4
n
(
1
−
x
)
4
n
d
x
=
1
(
8
n
+
1
)
(
8
n
4
n
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}}
を得る。
(*) を 0 から 1 まで積分し、(**) と arctan 1 = π / 4 π を含んだ目的の積分値を得る。
例 n = 1 の場合はすでに見た。n = 2 の場合は、
1
4
∫
0
1
x
8
(
1
−
x
)
8
1
+
x
2
d
x
=
π
−
47
171
15
015
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}}
および
1
8
∫
0
1
x
8
(
1
−
x
)
8
d
x
=
1
1
750
320
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}}}
より
47
171
15
015
+
1
1
750
320
<
π
<
47
171
15
015
+
2
1
750
320
{\displaystyle {\frac {47\,171}{15\,015}}+{\frac {1}{1\,750\,320}}<\pi <{\frac {47\,171}{15\,015}}+{\frac {2}{1\,750\,320}}}
すなわち 3.141 592 31… < π < 3.141 592 88… となり、π の近似値を小数点以下第6位まで得る。
同様に n = 3 の場合は、
1
16
∫
0
1
x
12
(
1
−
x
)
12
1
+
x
2
d
x
=
431
302
721
137
287
920
−
π
{\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}(1-x)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi }
および
1
32
∫
0
1
x
12
(
1
−
x
)
12
d
x
=
1
2
163
324
800
{\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}}}
より
431
302
721
137
287
920
−
2
2
163
324
800
<
π
<
431
302
721
137
287
920
−
1
2
163
324
800
{\displaystyle {\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-{\frac {2}{2\,163\,324\,800}}<\pi <{\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-{\frac {1}{2\,163\,324\,800}}}
すなわち 3.141 592 653 40… < π < 3.141 592 653 86… となり、π の近似値を小数点以下第9位まで得る。
次に n = 4 の場合は、
1
64
∫
0
1
x
16
(
1
−
x
)
16
1
+
x
2
d
x
=
π
−
741
269
838
109
235
953
517
800
{\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}}
および
1
128
∫
0
1
x
16
(
1
−
x
)
16
d
x
=
1
2
538
963
567
360
{\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}}}
より
741
269
838
109
235
953
517
800
+
1
2
538
963
567
360
<
π
<
741
269
838
109
235
953
517
800
+
2
2
538
963
567
360
{\displaystyle {\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}+{\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}}<\pi <{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}+{\frac {2}{2\,538\,963\,567\,360}}}
すなわち 3.141 592 653 589 55… < π < 3.141 592 653 589 95… となり、π の近似値を小数点以下第12位まで得る。
脚注 注釈
^ a b 「円の計算」命題三：任意の円の周はその直径の3倍よりも大きく、その超過分は直径の 1/7 よりは小さく、10/71 よりは大きい（3+ 10 / 71 < π < 3+ 1 / 7 [3]
出典
^ a b Lucas, Stephen (2005), “Integral proofs that 355/113 > π ” , Australian Mathematical Society Gazette 32 (4): 263--266, MR 2176249 , Zbl 1181.11077 , http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf
^ Havil, Julian (2003), Gamma. Exploring Euler's Constant , Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 96, ISBN 0-691-09983-9 , MR 1968276 , Zbl 1023.11001 ^ アルキメデス (1972 , pp. 484–487).^ Alexanderson, Gerald L.; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C. (editors) (1985), The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965--1984 ISBN 0-88385-463-5 , Zbl 0584.00003 , https://books.google.co.jp/books?id=HNLRgSGZrWMC&pg=PA9&dq=December-7-1968+Putnam+Mathematical-Competition&ei=DZCfR4iRJJu4sgPRu-CwCg&sig=u4-SIYyVtV3rbwN-p56c42BGUKw&redir_esc=y&hl=ja ^ IIT Joint Entrance Exam , 15ページの第38問^ Dalzell, D. P. (1944), “On 22/7”, Journal of the London Mathematical Society 19 : 133--134, MR 0013425 , Zbl 0060.15306 ^ Backhouse, Nigel (July 1995), “Note 79.36, Pancake functions and approximations to π ” , The Mathematical Gazette 79 (485): 371--374, JSTOR 3618318 , https://jstor.org/stable/3618318
関連文献 関連項目 外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\biggl (}x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}{\biggr )}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}={\biggl [}{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,{\biggr ]}_{0}^{1}\\&{\phantom {<}}={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \\&{\phantom {<}}={\frac {22}{7}}-\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c1409a41d329b5cc8220d4e26b9181f7282c38)
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