直ちに得られる円周率の評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 09:31 UTC 版)
「円周率が22/7より小さいことの証明」の記事における「直ちに得られる円周率の評価」の解説
Dalzell は1944年の論文で、この積分に言及し、被積分関数の分母に x = 1 を代入すると下からの評価が、x = 0 を代入すると上からの評価が得られると指摘した。すなわち、 1 1260 = ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 d x = 1 630 {\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,dx={\frac {1}{630}}} であり、これより円周率 π の評価として 22 7 − 1 630 < π < 22 7 − 1 1260 {\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}} を得る。十進小数で表現すると 3.1412… < π < 3.1420… となる。これらの評価値の誤差は、0.015% 未満である。
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