ニュートン法
【英】：Newton's method
制約なし最適化問題 min 
(ただし 
)を解くための勾配法の1つである. 連立1次方程式 
の解 
を探索方向に選び, 
によって近似解の点列 
を生成する. この解法は, 解の十分近くから出発すれば2次収束する.
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ニュートン法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/08 08:03 UTC 版)
数値解析の分野において、ニュートン法（ニュートンほう、英: Newton's method）またはニュートン・ラフソン法（英: Newton–Raphson method）は、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの1つである。対象とする方程式系に対する条件は、領域における微分可能性と2次微分に関する符号だけであり、線型性などは特に要求しない。収束の速さも2次収束なので古くから数値計算で使用されていた。名称はアイザック・ニュートンとジョゼフ・ラフソンに由来する。
- ^ Newton's Method(Wolfram Math World) 2010年6月8日閲覧。
- ^ Fine, Henry B. (1916-09-15). “On Newton’s Method of Approximation”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 2 (9): 546–552. JSTOR 83815.
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- ^ 大石進一 et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社.
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- ^ Rajković, P.; Stanković, M.; Marinković, D, S. (2002-01), “Mean value theorems in g-calculus”, Matematički vesnik (Mathematical Society of Serbia, Belgrade) 54 (3-4): 171-178
- ^ Rajković, P. M.; Marinković, S. D.; Stanković, M. S. (2005-09-15), “On q-Newton–Kantorovich method for solving systems of equations”, Applied Mathematics and Computation (Elsevier) 168 (2): 1432-1448, doi:10.1016/j.amc.2004.10.035
- 1 ニュートン法とは
- 2 ニュートン法の概要
- 3 高次元の場合
- 4 注意
- 5 関連項目
- 6 外部リンク
ニュートン法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:18 UTC 版)
初期値が根から遠い場合には必ずしも収束しないが、収束する場合は二分法より速い方法である。ニュートン法は、収束は通常2次であり、精度は1ステップ毎に2倍になる。関数 f が連続な微分値を持つことを前提とする。ニュートン法は、多次元の問題に直ちに一般化できる点でも重要である。より高次の収束を示す方法はハウスホルダー法に分類される。このうち最も単純なハレー法は3次の収束を示す。
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ニュートン法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:33 UTC 版)
実数の方程式 f ( x ) = x 2 − a = 0 {\textstyle f(x)=x^{2}-a=0} をニュートン法で解く方法を、行列にそのまま適用して求める方法である。 ｎ次正方行列 A {\textstyle A} に対し、ｎ次正方行列の列 X m {\textstyle X_{m}} を次の漸化式で定める X m + 1 = 1 2 ( X m + A X m − 1 ) {\textstyle X_{m+1}={\frac {1}{2}}(X_{m}+AX_{m}^{-1})} この列が適当な初期値 X 0 {\displaystyle X_{0}} について収束すれば、収束値 X ∞ {\textstyle X_{\infty }} について、 X ∞ 2 = A {\textstyle X_{\infty }^{2}=A} となる。 このことは、収束すれば X ∞ = 1 2 ( X ∞ + A X ∞ − 1 ) {\textstyle X_{\infty }={\frac {1}{2}}(X_{\infty }+AX_{\infty }^{-1})} が成り立つことから言える。
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ニュートン法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/10 02:49 UTC 版)
「反復法 (数値計算)」の記事における「ニュートン法」の解説
詳細は「ニュートン法」を参照 関数f が適当に滑らかな関数ならば、f の零点を求めるための関数g を g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) {\displaystyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}} ととれば、これはニュートン法となる。これは収束する場合は2次収束 (英: Quadratic convergence) となる。すなわち、根を a {\displaystyle a} 、 Δ x i ≜ x i − a {\displaystyle \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-a} とし、 Δ x i + 1 = f ′ ′ ( a ) 2 f ′ ( a ) ( Δ x i ) 2 + O [ Δ x i ] 3 {\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2f^{\prime }(a)}}(\Delta x_{i})^{2}+O[\Delta x_{i}]^{3}}
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