半角正接置換

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半角正接置換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 09:19 UTC 版)

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表 話 編 歴

半角正接置換（はんかくせいせつちかん、英: Tangent half-angle substitution）とは数学において、主に積分計算で利用される正接 tan による変数変換である。ワイエルシュトラス置換とも呼ばれる。三角関数のみで構成された積分に対してこの置換を施すことにより、有理関数へと変形することができる。すなわち、

${\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}$

半角正接置換の幾何的解釈。

半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 x² + y² = 1 を設定し、座標 (−1, 0) を通過する傾き t の直線を考える。また、この直線と単位円の交点のうち、(−1, 0) でない方を (cos θ, sin θ) とおく。するとこのとき t = tan θ/2 であって、連立方程式：

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y-0=t\,(x+1)\end{cases}}\qquad {\rm {where}}\quad x\neq -1}$ この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。