ニュートン補間
ニュートン多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 04:32 UTC 版)
基本対称式の他に対称式の重要な例として、各自然数 k に対し pk = x1k + ... + xnk によって定義されるk次ニュートン多項式があげられる。基本対称式の場合と同じように、n変数に関するニュートン多項式 pk(x1, .., xn) について、xnに 0 を代入すると n - 1 変数に関するニュートン多項式 pk(x1, .., xn - 1) がえられる。 上記の根と係数の関係から、1 ≤ i ≤ nなる iについて x i n − σ 1 x i n − 1 + σ 2 x i n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ ( n − 1 ) x i + ( − 1 ) n σ n = ∏ k = 1 n ( x i − x k ) = 0 {\displaystyle x_{i}^{n}-\sigma _{1}\ x_{i}^{n-1}+\sigma _{2}\ x_{i}^{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{(n-1)}\ x_{i}+(-1)^{n}\ \sigma _{n}=\prod _{k=1}^{n}(x_{i}-x_{k})=0} が成り立っているが、これらの式の左辺を xi たちについてすべて足し合わせることで p n − σ 1 p n − 1 + σ 2 p n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ ( n − 1 ) p 1 + ( − 1 ) n n σ n = 0 {\displaystyle p_{n}-\sigma _{1}\ p_{n-1}+\sigma _{2}\ p_{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{(n-1)}\ p_{1}+(-1)^{n}n\ \sigma _{n}=0} が得られる。この関係式から、n についての帰納的な考察により各自然数 k について k 変数の整係数多項式 P(s1, ..., sk) が存在して pk = Pk(σ1,..., σk) となっていることや、おなじく k 変数の有理係数多項式 Sk(q1, ..., qk) が存在して σk = Sk(p1, ..., pk) となっていることがしたがう。たとえば、 p1 = σ1, p2 = σ12 - 2 σ2, p3 = σ13 - 3 σ1 σ2 + 3 σ3 σ 2 = 1 2 ( p 1 2 − p 2 ) , σ 3 = 1 3 ( p 3 − p 1 p 2 ) + 1 6 ( p 1 3 − p 1 p 2 ) {\displaystyle \sigma _{2}={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\ \sigma _{3}={\frac {1}{3}}(p_{3}-p_{1}p_{2})+{\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-p_{1}p_{2})}
※この「ニュートン多項式」の解説は、「対称式」の解説の一部です。
「ニュートン多項式」を含む「対称式」の記事については、「対称式」の概要を参照ください。
- ニュートン多項式のページへのリンク
