ニュートン力学との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:08 UTC 版)
「オイラー＝ラグランジュ方程式」の記事における「ニュートン力学との関係」の解説
ニュートン力学においては、関数 u i {\displaystyle u_{i}} は一般化座標 q i {\displaystyle q_{i}} であり、その変数は時間 t である。一般化座標の次元 f を系の（力学的な）自由度という。 関数 F はラグランジアン L がその役割を果たす。オイラー＝ラグランジュ方程式は ∂ L ∂ q i ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\right)=0} となる。なお、ドットは時間による微分を表す。この式を特にラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。 一般化運動量は p i ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) = ∂ L ∂ q ˙ i ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle p_{i}(q(t),{\dot {q}}(t),t)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)} で定義され、これを使うとオイラー＝ラグランジュ方程式は p ˙ i = ∂ L ∂ q i ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)} と書き換えられる。上式右辺を一般化力と呼ぶ事にすると、上述の方程式は「一般化運動量の微分＝一般化力」を意味する。 ニュートン方程式は「運動量の微分＝力」であったので、オイラー＝ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。
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