ニュートン・ラフソン法

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ニュートン法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/13 08:11 UTC 版)

数値解析の分野において、ニュートン法（ニュートンほう、英: Newton's method）またはニュートン・ラフソン法（英: Newton–Raphson method）は、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの1つである。対象とする方程式系に対する条件は、領域における微分可能性と2次微分に関する符号だけであり、線型性などは特に要求しない。収束の速さも2次収束なので古くから数値計算で使用されていた。名称はアイザック・ニュートンとジョゼフ・ラフソンに由来する。ニュートン法を複素平面に適用し、初期値がどの解に収束するかについて色分けした結果としてニュートン・フラクタルを描くことができる（初期値の境界における挙動の予測が難しいことを示している）。

導入

ニュートン法の一手順の概念図 (青い線が関数 f のグラフで、その接線を赤で示した). x_n よりも x_n+1 のほうが、 f(x)=0 の解 x についてのよりよい近似を与えている.

この方法の考え方は以下のようである：まず初めに、予想される真の解に近いと思われる値をひとつとる。次に、そこでグラフの接線を考え、その x 切片を計算する。このx切片の値は、予想される真の解により近いものとなるのが一般である。以後、この値に対してそこでグラフの接線を考え、同じ操作を繰り返していく。

上の考え方は次のように定式化される。 ここでは、考える問題を f: R → R, x ∈ Rとして

$f(x)=0\,$

例として、 ${\sqrt {2}}$

ウィキメディア・コモンズには、ニュートン法に関連するカテゴリがあります。

• 除算 (デジタル)
• ガウス・ニュートン法
• ニュートン＝カントロビッチの定理

外部リンク

• 『ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題』 - 高校数学の美しい物語
• 山本哲朗、「Newton法とその周辺」『数学』 1985年 37巻 1号 p.1-15, doi:10.11429/sugaku1947.37.1, 日本数学会

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ニュートン・ラフソン法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 06:21 UTC 版)

「ジョゼフ・ラフソン」の記事における「ニュートン・ラフソン法」の解説

ラフソンの最も特筆すべき業績は1690年のAnalysis Aequationum Universalisである。それは方程式の根を近似する手法（現在ではニュートン・ラフソン法として知られている）を含んでいる。アイザック・ニュートンも似たような公式を1671年のMethod of Fluxionsで開発しているがこの研究は1736年（ラフソンによる研究の50年近く後）になるまで出版されなかった。しかしラフソンの方がニュートンより単純であり、それゆえに優れていると一般に考えられている。今日の教科書で見られるのはニュートンのよりもラフソンのものの方である。