円環の積分による求積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
原点を中心として、半径 x {\displaystyle x} の円周 ( 2 π x {\displaystyle 2\pi x} ) に対して、高さ d x {\displaystyle dx} の円環を考える。 このとき、 d x {\displaystyle dx} が小さければ、半径 x {\displaystyle x} の円周と高さ d x {\displaystyle dx} でできる面積は長方形とみなせ、その面積は d S = 2 π x d x {\displaystyle dS=2\pi xdx} である。したがって、半径 r {\displaystyle r} の円の面積は x {\displaystyle x} を 0 から r {\displaystyle r} まで積分したものに等しい。 S = ∫ 0 r d S = ∫ 0 r 2 π x d x = 2 π [ x 2 2 ] 0 r = π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S=\int _{0}^{r}\,dS&=\int _{0}^{r}2\pi x\,dx\\&=2\pi \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}
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