数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/17 02:59 UTC 版)
協力ゲームはあらゆるNの部分集合S(提携)にある値を特定することにより与えられる。数学的には、このゲーム (提携ゲーム) は有限なプレイヤー集合 N {\displaystyle N} と関数 v : 2 N → R {\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} } によって定義される。この関数は特性関数 (characteristic function) とも呼ばれる。協力ゲームはプレイヤーの集合Nと特性関数vの組 ( N , v ) {\displaystyle (N,v)} によって表される。協力ゲームの表現・解析には特性関数がよく用いられ、vをゲームと呼ぶこともある。 関数 v {\displaystyle v} は、 N {\displaystyle N} における提携それぞれに報酬を対応づけるものと解釈される。ある提携Sに対する特性関数の値v(S)はSのプレイヤーが獲得できる最良の値を表し、 v ( S ) {\displaystyle v(S)} を提携値と呼ぶ。通常は v ( ∅ ) = 0 {\displaystyle v(\emptyset )=0} （誰も参加しない提携への報酬を与えないこと）を仮定する。 また、提携ゲームにおける報酬とは反対に、 N {\displaystyle N} における提携それぞれでの費用を対応づける費用関数(cost function) C : 2 N → R {\displaystyle C:2^{N}\to \mathbb {R} } を用いて記述する方法もある。これを費用ゲーム(cost game)と呼ぶ。費用関数によって得られる値は提携したプレイヤーたちが支払う費用を示す。提携ゲームでの概念は費用ゲームにおける概念へ簡単に書き換えることができる。
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/15 00:11 UTC 版)
角加速度は角速度と同様にベクトル量であり、その向きは右ねじの方向、大きさは角度の2階時間微分または角速度の1階時間微分である。即ち α → = d ω → d t = d 2 θ → d t 2 {\displaystyle {\vec {\alpha }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\theta }}}{dt^{2}}}} または α → = a → T r {\displaystyle {\vec {\alpha }}={\frac {{\vec {a}}_{T}}{r}}} のいずれかで定義される。ここで ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} は角速度であり、 a → T {\displaystyle {\vec {a}}_{T}} は線型接線加速度、 r {\displaystyle \,r} は曲率半径である。
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/10 08:42 UTC 版)
数学的には、問題は次のように定式化される。 整数 m と正の整数の集合 V が与えられたとき、k ≤ m なる k 個の要素の和 v1 + v2 + ··· + vk で表せない最小の整数 z を求めよ。
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 22:24 UTC 版)
この節では、単位球面を北極から赤道を通る平面に投影する場合を扱う。その他の場合は後述。 三次元空間 R3 内の単位球面は、x2 + y2 + z2 = 1 と表すことができる。ここで、点 N := (0, 0, 1) を"北極"とし、M を球面の残りの部分とする。平面 z = 0 は球の中心を通る。"赤道" はこの平面と球面の交線である。 M 上の任意の点 P に対して、N と P を通る直線が一意的に存在し、この直線は平面 z = 0 とちょうど一点 P′ で交わる。P の立体射影による像を、その点 P′ と定義する。 球面上の直交座標 (x, y, z) と平面上の (X, Y) を用いると、立体射影とその逆写像は、次の式で与えられる。 ( X , Y ) = ( x 1 − z , y 1 − z ) , {\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),} ( x , y , z ) = ( 2 X 1 + X 2 + Y 2 , 2 Y 1 + X 2 + Y 2 , − 1 + X 2 + Y 2 1 + X 2 + Y 2 ) . {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).} 球面上の球面座標（英語版） (φ, θ) と平面上の極座標 (R, Θ) を用いると、立体射影とその逆写像は ( R , Θ ) = ( sin φ 1 − cos φ , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right),} ( φ , θ ) = ( 2 arctan ( 1 R ) , Θ ) {\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right)} となる。ただし、R = 0 の場合は、φ = π と解釈する。 また、三角関数の等式を用いて、この式を書き直す方法がたくさんある。球面上の円柱座標 (r, θ, z) と平面上の極座標 (R, Θ) を用いると、立体射影とその逆写像は、 ( R , Θ ) = ( r 1 − z , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),} ( r , θ , z ) = ( 2 R 1 + R 2 , Θ , R 2 − 1 R 2 + 1 ) {\displaystyle (r,\theta ,z)=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right)} となる。
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 15:10 UTC 版)
ガブリエルのホルンは、f: x → 1/x の領域 x ≥ 1（つまり x = 0 における漸近挙動の問題は関わってこない）での平面グラフを三次元において x-軸の周りに回転させることで形作られる。この発見は微分積分学の発明以前のことで、カヴァリエリの原理が使われたが、今日の微分積分学は x = 1 と x = a (a > 1) の間の体積と表面積の計算を利用することができる。積分（詳細は、回転体及び回転面を参照）を用いて、体積 Va および表面積 Aa は V a = π ∫ 1 a 1 x 2 d x = π ( 1 − 1 a ) {\displaystyle V_{a}=\pi \int _{1}^{a}{1 \over x^{2}}{\mathit {dx}}=\pi \left(1-{1 \over a}\right)} および A a = 2 π ∫ 1 a 1 x 1 + f ′ ( x ) 2 d x > 2 π ∫ 1 a 1 x d x = 2 π ln a {\displaystyle A_{a}=2\pi \int _{1}^{a}{1 \over x}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\;{\mathit {dx}}>2\pi \int _{1}^{a}{1 \over x}\;{\mathit {dx}}=2\pi \ln a} と求められる。a は望む限り大きくすることができるが、上記の方程式から分かることとしてホルンの x = 1 から x = a までの部分の体積が π を上回ることは無い（が、a が大きくなればなるほど、体積は π により近づく）。数学的に述べれば、a が無限大へ近づく極限において体積は π へ近づく、微分積分学における極限記法では lim a → ∞ V a = lim a → ∞ π ( 1 − 1 a ) = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }V_{a}=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi } ということになる。一方、表面積に関する上記の式は、表面積の下界が a の自然対数の 2π-倍で与えられることをいっている。a が無限大に近づく際にa の自然対数に上界は無い。それはガブリエルのホルンにおいてはホルンが無限の表面積を持つという意味になる。言い換えるならば次のようになる。 lim a → ∞ A a > lim a → ∞ 2 π ln a = ∞ {\displaystyle \lim _{a\to \infty }A_{a}>\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty }
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/16 09:49 UTC 版)
構造安定性の定義は、アンドロノフとポントリャーギンによって与えられた。構造安定とは、力学系の集合を考えたときに、与えられた力学系の十分小さな近傍の力学系が質的に同じふるまいをするということである。したがって、構造安定を定義するためには、力学系の近傍とは何かということと、質的に同じふるまいとは何かということの定義が必要である。 力学系同士の近さを定義するとは、数学的には力学系の集合に位相を入れるということである。力学系がn次元空間におけるベクトル場として与えられた時、そのベクトル場はCr級写像とみなすことができる。n次元のCr級写像全体のなす集合Cr(Rn, Rn) の二点がCkの意味でε近傍に属するとは、0-k階の微分があるノルムにおいてε以内にあるということである。 質的に同じふるまいとは、位相共役であるということである。すなわち、もと力学系の各軌道を、摂動された力学系の各軌道に写す同相写像が存在すればよい。
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数学的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:06 UTC 版)
数学的には、3次元空間内の部分集合（つまり図形）の定義関数を積分して体積を定義する。直感的にはまず直方体の体積を定義し、一般の立体に対しては小さな直方体の集まりでその立体を近似した極限を以って体積を定義する。体積のより広い概念として測度がある。 0次元の概念である点、1次元の概念である線、あるいは 2 次元の概念である面の体積は上記の積分による定義では0である。
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