部分積分による計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
∫ r 2 − x 2 d x {\displaystyle \int {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx} において、 f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} 、 g ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle g(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} とおけば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) = x {\displaystyle F(x)=x} 、 g ( x ) ′ = x r 2 − x 2 {\displaystyle g(x)'={\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}} であるから、部分積分の公式 ∫ f ( x ) g ( x ) d x = F ( x ) g ( x ) − ∫ F ( x ) g ( x ) ′ d x {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g(x)'\,dx} を用いて、 ∫ r 2 − x 2 d x = 1 2 ( x r 2 − x 2 + r 2 arcsin x r ) {\displaystyle \int {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}+r^{2}\arcsin {\frac {x}{r}})} が得られるので、四分円の定積分は、 S 4 = ∫ 0 r r 2 − x 2 d x = [ 1 2 ( x r 2 − x 2 + r 2 arcsin x r ) ] 0 r = π r 2 4 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&=\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\\&=\left[{\frac {1}{2}}(x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}+r^{2}\arcsin {\frac {x}{r}})\right]_{0}^{r}\\&={\frac {\pi r^{2}}{4}}\end{aligned}}} である。したがって、全円の面積 S は S = 4 S 4 {\displaystyle S=4S_{4}} なので、 S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}} になる。
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