部分積分の再帰的適用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/22 02:58 UTC 版)
部分積分を ∫ v d u {\textstyle \int vdu} に対して再帰的に適用することにより、次の公式を得る。 ∫ u v = u v 1 − u ′ v 2 + u ″ v 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 u ( n − 1 ) v n + ( − 1 ) n ∫ u ( n ) v n . {\displaystyle \int uv=uv_{1}-u'v_{2}+u''v_{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\ u^{(n-1)}\ v_{n}+(-1)^{n}\int {u^{(n)}v_{n}}.\!} ここで、 u ′ {\textstyle u'} は u {\textstyle u} の1次導関数、 u ″ {\textstyle u''} は2次導関数であり、 u ( n ) {\textstyle u^{(n)}} は n 次導関数を表す。 v n {\displaystyle v_{n}} は以下のように定義される。 v n + 1 ( x ) = ∫ ∫ ⋯ ∫ v ( d x ) n + 1 . {\displaystyle v_{n+1}(x)=\int \!\int \ \cdots \int v\ (dx)^{n+1}.\!} 上記の式は、 u v 1 {\textstyle uv_{1}} から開始して1つ目の項は順に微分して行き、2つ目の項は積分して行けば計算出来る（同時に符号を反転しながらであるが）。特に、 u k + 1 {\textstyle u^{k+1}} がある k + 1 {\textstyle k+1} で 0 になる時には u ( k ) {\textstyle u^{(k)}} の項までで終了するため、便利な公式である。
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