積分方程式への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 09:45 UTC 版)
バナッハ空間X を有限区間[a,b]上の連続関数からなる関数空間C([a,b])とし、K (x,y)を[a,b]×[a,b]で定義された連続関数、f(x)を[a,b]上の連続関数（f ∈ C([a,b])）とする。このとき、C([a,b])において、フレドホルム型積分方程式 u ( x ) − λ ∫ a b K ( x , y ) u ( y ) d y = f ( x ) {\displaystyle u(x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)u(y)dy=f(x)} を考える。ここで、 K u := ∫ a b K ( x , y ) u ( y ) d y {\displaystyle Ku:=\int _{a}^{b}K(x,y)u(y)dy} としたときに、|λ|・||K|| < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、 u = ( 1 − λ K ) − 1 f = f + λ K f + λ 2 K 2 f + ⋯ = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , y ) f ( y ) d y + λ 2 ∫ a b ( ∫ a b K ( x , y ) K ( z , y ) d z ) f ( y ) d y + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}u&=(1-\lambda K)^{-1}f\\&=f+\lambda Kf+\lambda ^{2}K^{2}f+\cdots \\&=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)dy+\lambda ^{2}\int _{a}^{b}{\biggl (}\int _{a}^{b}K(x,y)K(z,y)dz{\biggr )}f(y)dy+\cdots \end{aligned}}} と表すことができる。
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