積分形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:09 UTC 版)
「クラウジウス–デュエムの不等式」の記事における「積分形式」の解説
クラウジウス–デュエムの不等式は以下のように積分形式で記述することが可能である。 d d t ( ∫ Ω ρ η dV ) ≥ ∫ ∂ Ω ρ η ( u n − v ⋅ n ) dA − ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV . {\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.} 上式で t {\displaystyle t\,} は時間、 Ω {\displaystyle \Omega \,} は体を表し、体の体積を区間として積分している。 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega \,} は体の表面、 ρ {\displaystyle \rho \,} は体の質量密度、 η {\displaystyle \eta \,} は比エントロピー （単位質量あたりのエントロピー）、 u n {\displaystyle u_{n}\,} は ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega \,} の法線速度、 v {\displaystyle \mathbf {v} } は Ω {\displaystyle \Omega \,} 内部の粒子の速度、 n {\displaystyle \mathbf {n} } は表面の単位法線、 q {\displaystyle \mathbf {q} } は熱流ベクトル、 s {\displaystyle s\,} は単位質量あたりのエネルギー源、 T {\displaystyle T\,} は絶対温度。全ての変数は質点 x {\displaystyle \mathbf {x} } 、時間 t {\displaystyle t\,} においてのものである。
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